10.1 Convergencia de vectores

$$g_n=\left(\begin{array}{c}{g}_n(1)\\ g_n(2)\end{array}\right)()=\left(\begin{array}{c}1+\frac{1}{n}\\ 2-\frac{1}{n}\end{array}\right)()$$ Primero encontramos los siguiente limites para nuestras dos $g_n$ 's: $$\lim_{n\to }n\to$$∞ g n 1 1 $$\lim_{n\to }n\to$$∞ g n 2 2 Después tenemos el siguiente, $$\lim_{n\to }n\to$$∞ g n g puntual, donde $g=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ .

$$\forall t, t\in \mathbb{R}\colon g_n(t)=\frac{t}{n}$$ Como se hizo anteriormente, primero examinamos el límite $$\lim_{n\to }n\to$$∞ g n t 0 n ∞ t 0 n 0 donde $t_0\in \mathbb{R}$ . Por lo tanto $\lim_{n\to }n\to$∞ g n g puntualmente donde $g(t)=0$ para toda $t\in \mathbb{R}$ .

$$g_n=\left(\begin{array}{c}1+\frac{1}{n}\\ 2-\frac{1}{n}\end{array}\right)$$ Sea $g=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

$$g_n(t)=\begin{cases}\frac{t}{n} & \text{if $0\le t\le 1$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ Sea $g(t)=0$ para todo $t$ .

Puntual ⇒ norma

Dada la siguiente función: $$g_n(t)=\begin{cases}n & \text{if $0< t< \frac{1}{n}$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ Entonces $\lim_{n\to }n\to$∞ g n t 0 Esto significa que, $$g_n(t)\to g(t)$$ donde para todo $t$ $g(t)=0$ .

Ahora,

Norma ⇒ puntual

Dada la siguiente función: $$g_n(t)=\begin{cases}1 & \text{if $0< t< \frac{1}{n}$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}\text{si n es par}$$ $$g_n(t)=\begin{cases}-1 & \text{if $0< t< \frac{1}{n}$}\\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}\text{si n es impar}$$ Entonces, $$(g_n-g)=\int_0^{\frac{1}{n}} 1()\,d t=\frac{1}{n}\to 0$$ donde $g(t)=0$ para todo $t$ . Entonces, $$g_n\to g\text{en la norma}$$ Sin embargo, en $t=0$ , $g_n(t)$ oscila entre -1 y 1, Y por lo tanto es no convergente. Así, $g_n(t)$ no tiene convergencia puntual.