1. Home
  2. Математика 2
  3. Векторска алгебра
  4. Мешан производ на три вектори

1.4 Мешан производ на три вектори

<< Chapter < Page
  Математика 2   Page 1 / 1
Chapter >> Page >
Се воведува мешан производ на три вектори и негови својства. Triple scalar product and properties

Мешан производ на три вектори

Мешаниот производ на три вектора е скалар кој се дефинира со следната дефини­ција:

Дефиниција. Мешан производ на векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е скалар кој се означува со ( a → , b → , c → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} и се пресметува со

( a → , b → , c → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = a → ⋅ ( b → × c → ) size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } cdot \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ( a → × b → ) ⋅ c → size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) cdot {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Својства на мешаниот производ

Мешаниот производ ги има следниве својства:

  1. Ако векторите се дадени со своите координати

a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 1 , y 1 , z 1 }, b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 2 , y 2 , z 2 }, c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = { x 3 , y 3 , z 3 },

тогаш мешаниот производ се пресметува преку троредната детерминанта

( a → , b → , c → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ∣ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ∣ size 12{ lline matrix { x rSub { size 8{1} } {} # y rSub { size 8{1} } {} # z rSub { size 8{1} } {} ##x rSub { size 8{2} } {} # y rSub { size 8{2} } {} # z rSub { size 8{2} } {} ## x rSub { size 8{3} } {} # y rSub { size 8{3} } {} # z rSub { size 8{3} } {}} rline } {} .

Бидејќи мешаниот производ се пресметува преку детерминанта од трет ред, неговите својства ќе следуваат од својствата на детерминатите.

Затоа:

2. Важи антикомутативниот закон т.е се менува знакот на мешаниот производ ако два множители си ги сменат местата и затоа

( a → , b → , c → ) = − ( a → , c → , b → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

3. Важи дистрибутивниот закон

( a → + b → , c → , d → ) = ( a → , c → , d → ) + ( b → , c → , d → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {d} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

4. Множење со скалар λ size 12{λ} {}

λ ( a → , b → , c → ) = ( λ a → , b → , c → ) = ( a → , λ b → , c → ) = ( a → , b → , λc → ) size 12{λ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( λ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,λ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {λc} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} ;

5. Ако било кои два од трите вектори во мешаниот производ се колинеарни (паралелни), тогаш ( a → , b → , c → ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

6. Ако трите вектори се компланарни (лежат во иста рамнина), тогаш

( a → , b → , c → ) = 0 size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) =0} {} ;

7. Геометриско толкување на мешаниот производ : апсолутната вредност од мешаниот производ е волумен на паралелопипед образуван од трите вектори со заеднички почеток, а секој вектор претставува раб на така образуваниот паралелопипед. Затоа волуменот на паралелопипед со рабови a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V паралелопипед = ∣ ( a → , b → , c → ) ∣ size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

8. Волуменот на тристрана пирамида образувана од векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} , b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} е

V пирамида = 1 6 size 12{V rSub { size 8{ ital "пирамида"} } = { {1} over {6} } } {} ∣ ( a → , b → , c → ) ∣ size 12{ \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline } {} ;

Пример 1

Дадени се векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {3, 2, 1}, b → size 12{ {b} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 1, 2} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = {1, 3, 5}. Да се пресмета:

  1. Волуменот на паралелопипедот образуван од овие вектори;

б) Плоштината на ѕидот образуван од векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} .

Решение

а) Се пресметува мешаниот производ

( a → , b → , c → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} = ∣ 3 2 1 1 1 2 1 3 5 ∣ = 9 + 3 + 4 − 1 − 6 − 18 = − 9 size 12{ lline ` matrix { 3 {} # 2 {} # 1 {} ##1 {} # 1 {} # 2 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline =9+3+4 - 1 - 6 - "18"= - 9} {} .

Волуменот на паралелопипедот е

V паралелопипед = ∣ ( a → , b → , c → ) ∣ = ∣ − 9 ∣ size 12{V rSub { size 8{ ital "паралелопипед"} } = \lline \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) \lline = \lline - 9 \lline } {} = 9.

б) Плоштината на паралелограмот меѓу векторите a → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} и c → size 12{ {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} се пресметува со

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a → × c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} |.

Од векторскиот производ

a → × c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} = ∣ i → j → k → 3 2 1 1 3 5 ∣ = 10 i → + j → + 9 k → − 2 k → − 3 i → − 9 j → = 7 i → − 8 j → + 7 k → size 12{ lline ` matrix { {i} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {j} cSup { size 8{ rightarrow } } {} # {k} cSup { size 8{ rightarrow } } {} ##3 {} # 2 {} # 1 {} ## 1 {} # 3 {} # 5{}} ` rline `="10" {i} cSup { size 8{ rightarrow } } + {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +9 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 2 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } - 3 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 9 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } =7 {i} cSup { size 8{ rightarrow } } - 8 {j} cSup { size 8{ rightarrow } } +7 {k} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} ,

следува дека

P паралелограм size 12{P rSub { size 8{ ital "паралелограм"} } } {} = | a → × c → size 12{ {a} cSup { size 8{ rightarrow } } times {c} cSup { size 8{ rightarrow } } } {} | = | { 7, − 8,7 } size 12{ lbrace 7, - 8,7 rbrace } {} | = 7 2 + ( − 8 ) 2 + 7 2 = 162 . size 12{ sqrt {7 rSup { size 8{2} } + \( - 8 \) rSup { size 8{2} } +7 rSup { size 8{2} } } = sqrt {"162"} "." } {} ◄

Пример 2

Да се покаже дека ( a → + 3 b → + c → , 2 a → − b → , a → + c → ) = − 6 ( a → , b → , c → ) size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) } {} .

Решение

За решавање на оваа задача, се користат својствата 2, 3, 4 и 5 за мешан производ. Затоа најпрво се применува дистрибутивниот закон (својство 3) за првиот множител,

( a → + 3 b → + c → , 2 a → − b → , a → + c → ) = ( a → , 2 a → − b → , a → + c → ) + ( 3 b → , 2 a → − b → , a → + c → ) + + ( c → , 2 a → − b → , a → + c → ) = alignl { stack { size 12{ \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } +3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) = \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}

па за вториот и за третиот множител:

= ( a → , 2 a → , a → + c → ) + ( a → , − b → , a → + c → ) + ( 3 b → , 2 a → , a → + c → ) + + ( 3 b → , − b → , a → + c → ) + ( c → , 2 a → , a → + c → ) + ( c → , − b → , a → + c → ) = alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } + {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} } } {}
= ( a → , 2 a → , a → ) + ( a → , 2 a → , c → ) + ( a → , − b → , a → ) + ( a → , − b → , c → ) + + ( 3 b → , 2 a → , a → ) + ( 3 b → , 2 a → , c → ) + ( 3 b → , − b → , a → ) + ( 3 b → , − b → , c → ) + alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{}} {} #+ \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +{} {} } } {}
+ ( c → , 2 a → , a → ) + ( c → , 2 a → , c → ) + ( c → , − b → , a → ) + ( c → , − b → , c → ) = size 12{+ \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {}

потоа се применува својтвото 5 и затоа сите мешани производи со два исти множители се нула, а потоа се применуваат и својствата 2 и 4

= ( a → , − b → , c → ) + ( 3 b → , 2 a → , c → ) + ( c → , − b → , a → ) = − ( a → , b → , c → ) + 6 ( b → , a → , c → ) − ( c → , b → , a → ) = − ( a → , b → , c → ) − 6 ( a → , b → , c → ) + ( a → , b → , c → ) = − 6 ( a → , b → , c → ) , alignl { stack { size 12{ {}= \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( 3 {b} cSup { size 8{ rightarrow } } ,2 {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , - {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={}} {} #= - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) +6 \( {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - \( {c} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {a} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} # = - \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) + \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) ={} {} #= - 6 \( {a} cSup { size 8{ rightarrow } } , {b} cSup { size 8{ rightarrow } } , {c} cSup { size 8{ rightarrow } } \) , {} } } {}

што и требаше да се докаже. ◄
<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Математика 2. OpenStax CNX. Feb 03, 2016 Download for free at http://legacy.cnx.org/content/col11378/1.9
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Математика 2' conversation and receive update notifications?

Ask