1.4 El exponencial complejo

Bases para el exponencial

El exponencial complejo es una de las señales mas importantes y fundamentales en el análisis de señales y sistemas. Su importancia proviene de que sus funciones sirven como una base para las señales periódicas, como también sirven para poder caracterizar señales lineales de tiempo invariante . Antes de continuar, usted debería familiarizarse con los números complejos .

Exponential básico

Para todos los números $x$ , nosotros podemos derivar y definir fácilmente una función exponencial de una serie de Taylor mostrada aquí:

De esta definición, podemos probar la siguiente propiedad de las exponenciales que resulta ser muy útil, especialmente para los exponenciales que se discutirán en la siguiente sección.

Exponencial complejo de tiempo-continuo

Para todos los números complejos $s$ , podemos definir una señal exponencial compleja de tiempo-continuo como:

La expresión anterior no incluye ninguna información del ángulo. Debemos generalizar la expresión de exponenciales para generalizar funciones senosoidales con cualquier valor en el ángulo, esto se logra al hacer una sustitución de $s$ , $s=\sigma +i\omega$ , que al final nos lleva a

Exponencial complejo en tiempo-discreto

Finalmente, hemos llegado a la última forma de señales exponenciales que nos interesan estudiar, la señal exponencial compleja en tiempo-discreto , de la cual no daremos tantos detalles como lo hicimos para su contraparte, ya que las dos siguen las mismas propiedades y usan la misma lógica ya explicada previamente. Por ser discreta, tiene una diferencia en la notación usada para representar su naturaleza discreta

La relación de euler

Junto a la identidad de Euler, Euler también describe una manera de representar una señal exponencial compleja en términos de su parte real e imaginaria usando la siguiente relación:

Dibujando el exponencial complejo

Hasta este momento, nosotros hemos demostrado como un exponencial complejo se puede separar en su parte real e imaginaria. Ahora tenemos que ver como se grafican todas estas partes. Podemos observar que la parte real y la parte imaginaria están compuestas por un senosoidal multiplicado por una función de exponencial real. También sabemos que los senosoidales oscilan entre el valor uno y negativo uno. Entonces se puede ver que las partes reales e imaginarias del exponencial complejo oscilarán dentro de una ventana definida por la parte real del exponencial.

Mientras el $\sigma$ determina el índice de decrecimiento/ crecimiento, $\omega$ determina el índice de las oscilaciones. Esto se puede notar al observar que $\omega$ es parte del argumento usado en la parte que corresponde al senosoidal.

El plano complejo

Se convierte de extrema importancia el ver la variable compleja $s$ como un punto en el plano complejo (el plano-s ).