1.3 Función de impulso

En ingeniería usualmente se maneja la idea de una acción ocurriendo a un determinado punto. Puede ser una fuerza en ese punto o una señal en un punto del tiempo, se convierte necesario desarrollar alguna manera cuantitativa de definir este hecho. Esto nos lleva a la idea de un pulso unitario. Es probablemente la segunda señal más importante en el estudio de señales y sistemas después del Exponencial Complejo .

FunciÓN delta de dirac

La Función Delta de Dirac, conocida también como el impulso unitario o función delta es una función infinítamente angosta, infinítamente alta, cuya integral tiene un valor unitario (Ver abajo). Tal vez la manera mas simple de visualizar esto es usar un pulso rectangular que va de $a-\frac{\epsilon }{2}$ a $a+\frac{\epsilon }{2}$ con una altura de $\frac{1}{\epsilon }$ . Al momento de tomar su límite, $\lim_{\epsilon \to 0}\epsilon \to 0$ , podemos observar que su ancho tiende a ser cero y su altura tiende a infinito conforme suárea total permanece constante con un valor de uno. La función del impulso usualmente se escribe como $\delta (t)$ .

La propiedad de desplazamiento del impulso

El primer paso para comprender los resultados que esta función nos brinda, es examinar lo que sucede cuando esta función es multiplicada por alguna otra función.

A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un resultado infinito. Pero,¿quépasa si integramos el resultado de la multiplicación?

Esta propiedad es muyútil al momento de desarrollar la idea de convolución la cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema y su señal de entrada. De clic en el link de convolución que aparece arriba para mas información sobre este tema.

Otras propiedades del impulso

En esta sección se muestran algunas otras propiedades de el impulso sin entrar en los detalles de probar las propiedades- esta parte la dejaremos para que usted verifique las propiedades ya que son sencillas de comprobar. Note que estas propiedades funcionan para el tiempo continuo y discreto.

Propiedades de impulso unitario

• $\delta (\alpha t)=\frac{1}{\left|\alpha \right|}\delta (t)$
• $\delta (t)=\delta (-t)$
• $\delta (t)=\frac{d u(t)}{d t}$ , donde $u(t)$ es el escalón unitario.

Impulso de tiempo-discreto (muestreo unitario)

La extensión de la función impulso unitario al tiempo-discreto se convierte en una trivialidad. Todo lo que realmente necesitamos es darnos cuenta que la integración en tiempo-continuo equivale a una sumatoria en tiempo-discreto. Por lo tanto buscaremos una señal que al sumarla sea cero y al mismo tiempo sea cero en todas partes excepto en el origen.

Al analizar una gráfica de tiempo-discreto de cualquier señal discreta, uno puede notar que todas las señales discretas están compuestas de un conjunto de muestras unitarias que están escalados y desplazados en el tiempo. Si dejamos que el valor de una secuencia en cada entero $k$ sea descrita por $s(k)$ y la muestra unitaria retrasado que ocurre en $k$ sea escrito como $\delta (n-k)$ , nosotros podríamos escribir cualquier señal como la suma de impulsos unitarios retrasados que son escalados por un valor de la señal, o por coeficientes de escalamiento.

La respuesta de impulso

La respuesta de impulso es exactamente lo que su nombre implica- la respuesta de un sistema LTI, como por ejemplo un filtro, cuando la señal de entrada del sistema es un impulso unitario (o muestra unitaria). Un sistema puede ser completamente descrito por su respuesta al impulso por las razones explicadas previamente, ya que todas las señales pueden ser representadas por una superposición de señales. Una respuesta al impulso da una descripción equivalente a la dada por una función de transferencia , ya que existen Transformadas de Laplace para cada una.