0.9 Задачи од мешан производ на вектори

Решени задачи од мешан производ на вектори

1. Да се провери дали се компланарни векторите:

а) $\overrightarrow{a}=\{\mathrm{1,2,1}\}$ , $\overrightarrow{b}=\{\mathrm{2,3,4}\}$ и $\overrightarrow{c}=\{\mathrm{4,5,}\text{10}\}$ .

б) $\overrightarrow{a}=\{\mathrm{2,1,}-3\}$ , $\overrightarrow{b}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{4,1}\}$ и $\overrightarrow{c}=\{\mathrm{3,}-\mathrm{2,2}\}$ .

Решение.

а) $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& \text{10}\end{array}\mid =$

$=\text{30}+\text{32}+\text{10}-\text{12}-\text{20}-\text{40}=\text{72}-\text{72}=0$ .

Значи, векторите $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ се компланарни.

б) $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& -3\\ 1& -4& 1\\ 3& -2& 2\end{array}\mid =$

.

Следува векторите $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ не се компланарни.

2 . Да се пресмета волуменот на паралелопипедот конструиран над векторите $\overrightarrow{a}=\{\mathrm{2,3,4}\}$ , $\overrightarrow{b}=\{\mathrm{4,5,0}\}$ и $\overrightarrow{c}=\{\mathrm{3,4,1}\}$ .

Решение.

$V=\mid (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})\mid =\mid \mid \begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 4& 5& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\mid \mid =\mid \text{10}+\text{64}-\text{60}-\text{12}\mid =\mid 4-2\mid =\mid 2\mid =2$ .

3 . Да се покаже дека точките $A(\mathrm{1,2,}-1)$ , $B(\mathrm{0,1,5})$ , $C(-\mathrm{1,2,1})$ и $D(\mathrm{2,1,3})$ лежат во иста рамнина.

Решение.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\{-\mathrm{1,}-\mathrm{1,6}\}$ , $\overrightarrow{\text{AC}}=\{-\mathrm{2,0,2}\}$ , $\overrightarrow{\text{AD}}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{1,4}\}$ .

$(\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AD}})=\mid \begin{array}{ccc}-1& -1& 6\\ -2& 0& 2\\ 1& -1& 4\end{array}\mid =(-2)+\text{12}-8-2=0$ .

Следува векторите $\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AD}}$ се компланарни, па и точките A , B , C и D лежат во иста рамнина.

4 . Волуменот на тетраедар е 5. Три негови темиња се во точките:

$A(\mathrm{2,1,}-1)$ , $B(\mathrm{3,0,1})$ и $C(\mathrm{2,}-\mathrm{1,3})$ .

Да се определат координатите на четвртото теме D , ако се знае дека тоа лежи на y -оската.

Решение.

Темето D има координати: $D(\mathrm{0,}d,0)$ , бидејќи лежи на y -оската.

$V_T=5$ . Следува

$\frac{1}{6}\mid (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AD}})\mid =5$ .

$\overrightarrow{\text{AB}}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{1,2}\}$ ,

$\overrightarrow{\text{AC}}=\{\mathrm{0,2,}-4\}$ ,

$\overrightarrow{\text{AD}}=\{-\mathrm{2,}d-\mathrm{1,1}\}$ .

$\frac{1}{6}\mid (\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AD}})\mid =\frac{1}{6}\mid \mid \begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& -2& 4\\ -2& d-1& 1\end{array}\mid \mid =5$ .

$\frac{1}{6}\mid (-2+8-8-\mathrm{4d}+4)\mid =5$ .

$\frac{1}{6}\mid (2-\mathrm{4d})\mid =5$ .

$\mid 2-\mathrm{4d}\mid =\text{30}$ . Оттука, добиваме

Има две можности: $D_1(\mathrm{0,}-\mathrm{7,0})$ и $D_2(\mathrm{0,8,0})$ .