0.8 Реални броеви

Множество реални броеви

Унијата на рационалните и ирационалните броеви го дава множеството реални броеви R , т.е.

$R=Q\cup I\text{.}$

Реални броеви има “повеќе” од природни. Кантор (Cantor 1845-1918) докажал дека реалните броеви не може да се подредат во низа, бидејќи секогаш ќе има реални броеви кои не се опфатени во низата. Затоа за реалните броеви се вели дека имаат моќ на континуум . Таква моќ има и множеството на точки од правата (или било која отсечка) како и множеството на точки од рамнината. Не е познато множество со моќ меѓу преброиво и континуум, но постои множество со моќ поголема од континуум. Такво е на пр. множеството од сите реални функции дефинирани на отсечката [0, 1].

Забелешка

Во проширеното множество реални броеви $(R\cup \{-\infty ,+\infty \}),$ $\forall a\in R$ важи:

$a+(+\infty )\text{=+}\infty$ , $a+(-\infty )=-\infty$

$a\cdot (+\infty )\text{=+}\infty$ , $a\cdot (-\infty )=-\infty$ , за $(a>0)$

$a\cdot 0=0$

$\frac{a}{+\infty }=\frac{a}{-\infty }=0$ , за

$\frac{0}{a}=0$ , за

$\frac{a}{0}\text{=+}\infty$ , за $(a>0)$

$(+\infty )+(+\infty )\text{=+}\infty$

$(-\infty )+(-\infty )=-\infty$

$(+\infty )\cdot (+\infty )\text{=+}\infty$

$(-\infty )\cdot (-\infty )\text{=+}\infty$

$(+\infty )\cdot (-\infty )\text{=−}\infty$

Изразите $\frac{0}{0},\frac{\pm \infty }{\pm \infty },0\cdot (\pm \infty ),(+\infty )+(-\infty )$ не се определени и за нивно пресметување постојат постапки со кои се разрешува неопределеноста.