0.7 Изводи и диференцијали од повисок ред

Изводи и диференцијали од повисок ред

Најпрво ќе покажеме како се пресметува извод од повисок ред.

Извод од повисок ред

Знаеме дека функцијата може да биде зададена на повеќе различни начини, затоа посебно ќе се објасни како се пресметуваат изводите од повисок ред од експлицитна функција, од имплицитна функција и од функција зададена во параметарски облик.

Функција во експлицитен облик

Нека функцијата $y=f(x)$ е дифернцијабилна на интервалот $(a,b)$ и нека нејзиниот прв извод е $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}(x)$ . Првиот извод на функцијата $f^{\text{'}}(x)$ во општ случај е функција од $x$ и од него пак може да се бара извод по $x$ . Изводот од првиот извод се нарекува втор извод на функцијата или извод од втор ред и се означува со

${\left(f^{\text{'}}(x)\right)}^{\prime }=f^{\text{'}\text{'}}(x)$ или $(y^{\text{'}}{)}^{\text{'}}=y^{\text{'}\text{'}}$ .

Аналогно, извод од вториот извод е трет извод , при што

${\left(f^{\text{'}\text{'}}(x)\right)}^{\prime }=f^{\text{'}\text{'}\text{'}}(x)$ или $(y^{\text{'}\text{'}}{)}^{\text{'}}=y^{\text{'}\text{'}\text{'}}$ и т.н.

Изводите од втор, трет и повисок ред под заедничко име се нарекуваат изводи од пов и сок ред .

Пример 1.

Да се пресмета $y^{\text{'}\text{'}}$ ако $y=\text{ln}(x+\sqrt{x^2+1})$ .

Решение.

Првиот извод е

$y^{\text{'}}={\left(\text{ln}(x+\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}(1+\frac{\mathrm{2x}}{2\sqrt{x^2+1}})=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ ,

а вториот извод е

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)}^{\prime }=\frac{-\frac{\mathrm{2x}}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=-\frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ .

Пример 2.

Да се докаже дека функцијата $y=\text{cos}{e}^x+\text{sin}{e}^x$ ја задоволува равенката $y^{\text{'}\text{'}}-y^{\text{'}}+{\text{ye}}^{\mathrm{2x}}=0$ .

Решение .

Се пресметуваат првиот и вториот извод:

$y^{\text{'}}=-e^x\text{sin}{e}^x+e^x\text{cos}{e}^x$ ,

$y^{\text{'}\text{'}}=-e^x\text{sin}{e}^x-e^x{e}^x\text{cos}{e}^x+e^x\text{cos}{e}^x-e^x{e}^x\text{sin}{e}^x$ ,

и по средување

$y^{\text{'}\text{'}}=-e^x\text{sin}{e}^x-e^{\mathrm{2x}}\text{cos}{e}^x+e^x\text{cos}{e}^x-e^{\mathrm{2x}}\text{sin}{e}^x$ .

Со замена на $y,y^{\text{'}},y^{\text{'}\text{'}}$ во равенката се добива

што и требаше да се докаже.

Се забележува дека редот на изводот се означува со римски цифри. Бидејки за произволен број $n\in N$ не постои соодветен репрезент со римска цифра, изводот на функцијата од n -ти ред се означува со

што значи дека редот на изводот може на се означи и со конкретен арапски број или со општ број, но тогаш бројот задолжително е во мали загради за да се разликува од ознаката за степен на функција. Затоа на пример, ознаки за изводите се

$y^v=y^{(5)},y^x=y^{(\text{10})},y^{\text{xv}}=y^{(\text{15})}$ и т.н.

Пример 3.

Да се пресмета $y^{(n)}$ за функцијата $y={\text{xe}}^x$ .

Решение .

Започнуваме со пресметување на изводите. Најпрво првиот извод

$y^{\text{'}}=({\text{xe}}^x{)}^{\text{'}}=e^x+{\text{xe}}^x$ ,

потоа вториот извод

$y^{\text{'}\text{'}}=(e^x+{\text{xe}}^x{)}^{\text{'}}=e^x+e^x+{\text{xe}}^x=2e^x+{\text{xe}}^x$ ,

третиот извод

$y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=(2e^x+{\text{xe}}^x{)}^{\text{'}}=2e^x+e^x+{\text{xe}}^x=3e^x+{\text{xe}}^x$ .

Од претходно пресметаните изводи може да се претпостави дека $y^{(n)}$ ќе биде $y^{(n)}={\text{ne}}^x+{\text{xe}}^x$ .

Дека тоа е точно, ќе треба да докажеме дека $y^{(n+1)}=(n+1)e^x+{\text{xe}}^x$ .

За да се пресмета $y^{(n+1)}$ ќе треба да го диференцираме $y^{(n)}$ уште еднаш:

$y^{(n+1)}=(y^{(n)}{)}^{\text{'}}=({\text{ne}}^x+{\text{xe}}^x{)}^{\text{'}}={\text{ne}}^x+e^x+{\text{xe}}^x=(n+1)e^x+{\text{xe}}^x$

и заклучуваме дека навистина

$y^{(n+1)}=(n+1)e^x+{\text{xe}}^x$ ,

со што потврдивме дека претпоставката е точна (за дожување го користевме методот на математичка индукција).

Функција во имплицитен облик

Кога функцијата е зададена во имплицитен облик со равенка $F(x,y)=0$ , оваа имплицитна равенка ја диференцираме член по член по независно пременливата $x$ , водејќи сметка дека $y$ е функција, односно дека $y=y(x)$ . Изразот што се добива за првиот извод уште еднаш се диференцира и се изразува вториот извод. Постапката може и понатаму да продолжи со извод од вториот извод кога се добива извод од трет ред и т.н.

Пример 4.

Да се пресмета $y^{\text{'}\text{'}}$ за функцијата $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ .

Решение .

Бидејќи $y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$ , двете страни на оваа имплицитната равенка (равенка на елипса) ги диференцираме по $x$

и се добива

од каде

$y^{\text{'}}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ .

Ако сега првиот извод го диференцираме уште еднаш

се добива

и со користење на релацијата $a^2{y}^2+b^2{x}^2=a^2{b}^2$ следува дека

$y^{\text{'}\text{'}}=-\frac{b^4}{a^2{y}^3}$ .

Функција во параметарски облик

Кога функцијата е зададена во параметарски облик преку равенките $x=x(t),y=y(t)$ , $t-$ параметар, вториот извод е извод од првиот извод по променливата $x$ . Бидејќи изводот е изразен преку параметарот, затоа целата постапка на диференцирање се изведува преку параметарот преку следната постапка

и конечно запишуваме дека

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{{\dot{x}}^3}$ .

Пример 5.

Да се пресмета вториот извод на функцијата $x=\text{arcsin}t,y=\text{ln}(1-t^2)$ .

Решение .

Ги пресметуваме изводите по параметарот

$\begin{array}{}\dot{x}=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},\ddot{x}=\frac{-\frac{-\mathrm{2t}}{2\sqrt{1-t^2}}}{1-t^2}=\frac{t}{(1-t^2)\sqrt{1-t^2}},\\ \dot{y}=\frac{-\mathrm{2t}}{1-t^2},\ddot{y}=-2\frac{1-t^2+{\mathrm{2t}}^2}{(1-t^2{)}^2}=-2\frac{1+t^2}{(1-t^2{)}^2},\end{array}$

и со нивна замена во изразот за втор извод се добива

и по средување

$y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-2}{1-t^2}$ .

Диференцијали од повисок ред

За функцијата $y=f(x)$ диференцијалот се означуваше со

и тој е пак некоја функција од $x$ . Ако од диференцијалот побараме пак диференцијал се добива втор диференцијал

и од правилото за пресметување на диференцијал

$d^{2}y={\left(f^{\text{'}}(x)\text{dx}\right)}^{\prime }\text{dx}=f^{\text{'}\text{'}}(x)(\text{dx}{)}^2$ .

Со користење на ознаката $(\text{dx}{)}^2={\text{dx}}^2$ се добива израз за втор диференцијал

Со аналогна постапка и се добиваат и диференцијалите од повисок ред:

Пример 6.

За функцијата $y={\text{sin}}^{2}x$ диференцијалите од втор и трет ред се:

$\begin{array}{}{y}^{\text{'}}=2\text{sin}x\text{cos}x=\text{sin}\mathrm{2x}\Rightarrow \text{dy}=\text{sin}2\text{xdx}\\ y^{\text{'}\text{'}}=2\text{cos}\mathrm{2x}\Rightarrow d^{2}y=2\text{cos}2{\text{xdx}}^2\\ y^{\text{'}\text{'}\text{'}}=-4\text{sin}\mathrm{2x}\Rightarrow d^{3}y=-4\text{sin}2{\text{xdx}}^3\text{.}\end{array}$