0.7 Задачи од векторски производ на вектори

Решени задачи од векторски производ на вектори

1. Да се определи параметарот $\lambda$ , така што векторите $\overrightarrow{p}=\lambda \overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{q}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ да бидат колинеарни, ако $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не се колинеарни.

Решение.

За да бидат колинеарни векторите $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{q}$ , потребно е $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}=\overrightarrow{0}$ . Односно,

$(\lambda \overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})\times (3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{0}$ .

$\mathrm{3\lambda }\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\text{15}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ .

Бидејќи $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ , имаме

$-\lambda \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\text{15}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ .

$(\text{15}-\lambda )\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ .

$\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ не се колинеарни вектори, па мора $\text{15}-\lambda =0$ , т.е. $\lambda =\text{15}$ .

2 . Да се докаже дека ако $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ , тогаш $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ се компланарни.

Решение.

$=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=$

$=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$ .

Оттука следува дека мора $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ да бидат колинеарни, т.е.

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\lambda (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$ .

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{b}-\lambda \overrightarrow{a}$ .

$(1+\lambda )\overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ , од каде следува дека мора $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ да бидат компланарни.

3 . Да се пресмета плоштината на паралелограмот конструиран над векторите:

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ .

Решение.

Слика 1

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left\{\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 1\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -3\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ -3& 1\end{array}\mid \right\}=\left\{\mathrm{2,1,7}\right\}$ .

$P=\mid \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\mid =\sqrt{2^2+1^2+7{}^2}=\sqrt{\text{54}}=3\sqrt{6}$ .

4 . Да се пресмета плоштината на триаголникот ABC со дадени темиња:

$A(\mathrm{4,}-\mathrm{1,2})$ , $B(-\mathrm{8,0,4})$ и $C(\mathrm{8,2,3})$ .

Решение.

Слика 2

$\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left\{\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}2& -\text{12}\\ 1& 4\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}-\text{12}& 1\\ 4& 3\end{array}\mid \right\}=\left\{-\mathrm{5,}\text{20},-\text{40}\right\}$ .

$P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\mid =\frac{1}{2}\sqrt{(-5{)}^2+{20}^2+(\text{-40}){}^2}=\frac{\sqrt{\text{25}+4\text{00+1600}}}{2}=\frac{\sqrt{\text{2025}}}{2}=\frac{\text{45}}{2}$ .

5 . Да се пресмета должината на висината повлечена од темето B кон страната AC во триаголникот ABC , ако неговите темиња се:

$A(\mathrm{1,}-\mathrm{1,2})$ , $B(\mathrm{5,}-\mathrm{6,2})$ и $C(\mathrm{1,3,}-1)$ .

Решение.

Слика 3

$\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left\{\mid \begin{array}{cc}-5& 0\\ 4& -3\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}0& 4\\ -3& 0\end{array}\mid ,\mid \begin{array}{cc}4& -5\\ 0& 4\end{array}\mid \right\}=\left\{\text{15},\text{12},\text{16}\right\}$ .

$P_{\text{ABC}}=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\mid =\frac{\sqrt{\text{225}+1\text{44+256}}}{2}=\frac{\sqrt{\text{625}}}{2}=\frac{\text{25}}{2}$ .

Од друга страна, имаме $P_{\text{ABC}}=\frac{\mid \overrightarrow{\text{AC}}\mid \cdot \mid \overrightarrow{h_b}\mid }{2}$ , односно $\mid \overrightarrow{h_b}\mid =\frac{{\mathrm{2P}}_{\text{ABC}}}{\mid \overrightarrow{\text{AC}}\mid }$ .

$\mid \overrightarrow{h_b}\mid =\frac{2\cdot \frac{\text{25}}{2}}{\sqrt{\text{0+}1\text{6+9}}}=\frac{\text{25}}{\sqrt{\text{25}}}=\frac{\text{25}}{5}=5$ .