0.7 Ирационални броеви

Множество ирационални броеви

Како и сите досега конструирани множества броеви, така и множеството рационални броеви се покажува како недоволно за извршување на определени математички опе­рации.

Задача.

Дали се сомерливи страната $a$ на квадратот и неговата дијагонала $d$ , т.е дали постои некоја отсечка $c$ која се содржи и во страната на квадратот и во неговата дијагонала?

Решение:

За да се реши оваа задача се поаѓа од претпоставката дека постои таква отсечка со дожина $c$ и тогаш дијагоналата и страната на квадратот можат да се запишат со равенките

$d=\text{pc},a=\text{qc},(p,q\in N)\text{.}$

Точноста на ова тврдење се покажува со докажување на спротивното, односно поаѓајќи од невистинито тврдење се доаѓа до контрадикција.

Невистинито тврдење од кое се поаѓа е дека бројот $\sqrt{2}$ е рационален број, што ќе не доведе до кон­традик­торност.

Според Питагоровата теорема, дијагоналата $d$ во квадрат со страна $a$ е $d=a\sqrt{2}$ и нека претпоставиме дека бројот $\sqrt{2}$ е рационален, што значи дека тој може да се прет­стави во обликот

$\sqrt{2}=\frac{p}{q},$ ( $p,q$ се взаемно прости броеви, . (1)

По квадрирање на (1) се добива

$p^2={\mathrm{2q}}^2,$ (2)

што значи дека $p$ е парен број (види го примерот во делот за природни броеви) и може да се запише како

$p=\mathrm{2k},(k\in N)$

и по замена во (2) се добива дека

${\mathrm{4k}}^2={\mathrm{2q}}^2$

или по кратење со 2 се добива

$q^2={\mathrm{2k}}^2\text{.}$ (3)

Равенството (3) исто така означува дека и бројот $q$ е парен како што е парен и бројот $p$ , што е спротивно од појдовната претпоставка дека $p$ и $q$ се взаемно прости броеви, од каде следува дека тие не се парни броеви. Како заклучок следува дека претпоставката

$\sqrt{2}=\frac{p}{q},$ ( $p$ , $q$ се взаемно прости броеви)

не е точна, односно

,

што значи дека $\sqrt{2}\notin Q$ .

Воведувањето на операцијата коренување ја укажува потребата од проширување на множеството рационални броеви со други броеви а тоа се ирационалните броеви.

Бројот се нарекува ирационален ако тој не може да се претстави во обликот Карактеристично за ирационални броеви е дека тие се претставуваат во бесконечен децимален запис.

Пример.

Ирационални се броевите:

$\sqrt{2}=\mathrm{1,}\text{4142}\text{.}\text{.}\text{.};\pi =\mathrm{3,}\text{1415}\text{.}\text{.}\text{.};\text{log}2=\mathrm{0,}\text{30103}\text{.}\text{.}\text{.};e=\mathrm{2,}\text{718281}\text{.}\text{.}\text{.}$ и т.н.

Множеството на ирационални броеви е неограничено мно­жество и од лево и од десно, тоа е секаде густо и се означува со I .