0.6 Viễn thông số  (Page 27/30)

Bây giờ ta sẽ vẽ các từ mã trong một không gian n chiều, 8 từ mã trở thành các góc của hình khối đơn vị như trình bày trong hình 7.44.Bắt đầu tại mỗi góc của hình khối, nếu một lỗi bit được tạo ra, ta sẽ di chuyển một trong những cạnh đến một góc kế bên với khoảng cách là một đơn vị. Vì thế khoảng cách giữa hai từ là số cạnh nhỏ nhất phải được xoay quanh trục để di chuyển từ một từ đến những từ khác.

Hình 7.44 Mã hoá 3 bit trong không gian 3 chiều.

Trong ví dụ trên vơi các từ mã 4 bit ta cần một hình vẽ với 8 điểm thể hiện các từ mã 4 chiều. Đây là một hình khối trong một không gian 4 chiều. Ta tìm ít nhất hai cạnh được xoay quanh một trục từ một từ đến những từ khác.

Trong trường hợp tổng quát nếu khoảng cách nhỏ nhất giữa hai từ mã là 2, các từ mã được chia ít nhất là hai cạnh trong một không gian n chiều. Ta sẽ minh hoạ điều này trong hình 7.45. Trong hình này ta chỉ ra3 trong số các từ mã từ ví dụ trên. Khối cầu n chiều với bán kính đơn vị bao gồm tất cả các từ với khoảng cách bằng 1 được tính từ tâm.

000001100011d = 1

Hình 7.45 Không gian 4 chiều.

Giả sử bây giờ khoảng cách nhỏ nhất giữa các từ mã được tăng lên bằng 3. Ta thấy rằng nếu một lỗi được tạo ra, từ nhận được có khoảng cách bằng 1 từ một từ mã đúng và ít nhất 2 đơn vị so với khoảng cách từ mỗi từ mã khác. Ta sẽ giải mã với từ gần nhất có thể chấp nhận được. Vì thế mã này có khả năng sửa lỗi một bit lỗi. Nhưng khi truyền chắc gì không xảy ra hai bit lỗi. Đối với trường hợp này, tiến trình mã hoá của ta sẽ dẫn đến câu trả lời không đúng. Tuy nhiên xác suất của 2 bit lỗi, nhỏ hơn xác suất của một bit lỗi. Ví dụ nếu ta truyền các từ 5 bits và xác suất của bit lỗi là 10-4, xác suất của một bit lỗi được xác định như sau:

5 x 10-4 x (1-10-4)4 = 5 x 10-4

Và xác suất của 2 bit lỗi sẽ là:

10 x (10-4)2 x (1-10-4)3 = 10 x 10-8

Vì thế một bit lỗi, nhiều hơn khoảng 500 lần so với 2 bit lỗi. Vì thế chiến thuật của ta có một kết quả trung bình giữa việc ước lượng 500 lần lỗi được sửa đúng và một lần ước lượng sửa lỗi không đúng.

Tổng quát nếu khoảng cách nhỏ nhất giữa các từ mã là Dmin, ta có số các lỗi là Dmin – 1. Để chuyển từ từ mã được truyền sang từ mã có thể chấp nhận khác ít nhất là Dmin lỗi được tạo ra, ta có thể nhận ra nếu có nhiều hơn số lỗi được tạo ra.

Nếu ta sửa lỗi bằng cách di chuyển đến từ gần nhất có thể chấp nhận, ta sửa (Dmin - 2)/2 lỗi cho Dmin chẵn và (Dmin - 1)/2 lỗi cho Dmin lẻ.

3. CÁC MÃ SỐ HỌC (algebraic codes)

Giả sử rằng từ bản tin của ta bao gồm k bits và ta thêm phần dư với m bits thêm vào. Lúc đó chiều dài của mỗi từ mã vào là n = k + mbits. Vì thế mỗi từ thông tin k bits có liên quan đến một từ mã n bit. Nếu từ thông tin xuất hiện rõ như một phần của từ mã, ta qui ước cho điều này như một mã hệ thống. Nếu ta biểu thị các bit thông tin này là ui và các bit thêm vào là ci, từ mã có thể được viết như sau:

c1c2 . . . cmu1u2 . . . uk

Ta đã đặt các bit thông tin ở phần kết thúc của từ mã. Điều này, không cần thiết và chúng có thể xuất hiện bất cứ ở đâu trong từ.

Một mã toán học là một mã mà các từ mã và từ thông tin có liên hệ bằng một biểu thức ma trận.