0.6 Рационални броеви

Множество рационални броеви

Операцијата делење со цел број различен од нула не секогаш може да се изврши во множеството цели броеви, односно количникот на два цели броја не мора да е цел број. Затоа се укажува потребата од проширување на множеството цели броеви во множество рационални броеви кое во себе го содржи множеството цели броеви како вистинско подмножество. Имено, секој цел број може да се запише како дропка со именител 1. На пр. $3=\frac{3}{1},3=\frac{6}{2}$ и т.н. Рационалните броеви може да се претстават како количник на два цели броја, при што бројот во именителот треба да се различен од нула.

М ножеството раци ­ о ­ нал ­ ни ­ броеви се запишува со

Ова множество е секаде густо множество, бидејќи меѓу два произволни рационални броеви има бесконечно многу рационални броеви. За да го покажеме ова тврдење, ќе докажеме дека меѓу рационалните броеви $a$ и $b$ се наоѓа бројот $\frac{a+b}{2}\text{.}$ Нека и ако на двете страни од ова неравенство се додаде бројот $a$ се добива

Аналогно, ако на двете страни од неравенставото со додаде бројот $b$ се добива

Од овие две неравенства следува дека

што означува дека меѓу два рационални броеви $a$ и $b$ се наоѓа и рационалниот број $\frac{a+b}{2}\text{.}$ Со истата постапка, ако на неравенството се додава бројот $\mathrm{2a}$ и $\mathrm{2b}$ или $\text{na},(n\in N)$ и $\text{nb},(n\in N)$ се добива низа броеви меѓу броевите меѓу $a$ и $b$ .

Множеството $Q$ исто како и множеството на природни броеви има моќ на преброиво мно­жес­тво бидејќи рационалните броеви може да се подредат во низа во која најпрво се запишуваат рационалните броеви чии што збир на цифри од именителот и броителот изнесува $1$ , потоа оние со збир $2$ , па $3$ и т.н. при што се добива низата претставена со следнава шема:

$\frac{0}{1}$ ,

$\frac{0}{2},\frac{1}{1}$ ,

$\frac{0}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{1}$ ,

$\frac{0}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}$ ,

$\frac{0}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}$ ,

$\dots$ .

Како што се гледа од горенаведената шема, во наведената низа се запишани само позитивните рационални броеви, што нималку не ја намалува општоста, бидејќи до секој позитивен рационален број може да се додаде и рационалиот број со негативен предзнак. Се забележува дека секој рационален број во оваа низа се повторува бесконечен број пати, но тоа не е битно, важно е дека рационалните броеви на овој начин се подредени во низа, а со тоа нивното множество има моќ на преброиво. За досега наведените множества од броеви важи

$N\subset Z\subset Q$ ,

што јасно го покажува начинот на кој се врши проширувањето на множествата броеви.