0.5 Задачи од скаларен производ на вектори

Решени задачи од скаларен производ на вектори

1. Да се пресмета скаларниот производ на векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , ако $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$ , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}$ и $\mid \overrightarrow{m}\mid =\mathrm{2,}\mid \overrightarrow{n}\mid =\mathrm{4,}\angle (\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})=\frac{\pi }{3}$ .

Решение.

2 . Колку е $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ , ако $\mid \overrightarrow{a}\mid =\mid \overrightarrow{b}\mid =1$ , а векторите $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{q}=5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$ се заемно нормални?

Решение.

Заради условот за нормалност, $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$ . Значи,

$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})=5+6\text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})-8=0$ .

$\text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .

Следува $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\pi }{3}$ .

3 . Дадени се векторите:

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$ .

Да се пресмета $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\mathrm{}$ и $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ .

Решение.

Имаме $\overrightarrow{a}=\{\mathrm{3,1,}-2\}$ и $\overrightarrow{b}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{4,5}\}$ . $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\cdot 1+1\cdot (-4)+(-2)\cdot 5=-\text{11}$ .

$\text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\mid }=\frac{-\text{11}}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}\sqrt{1^2+(-4{)}^2+5^2}}=-\frac{\text{11}}{\text{14}\sqrt{3}}=-\frac{\text{11}\sqrt{3}}{\text{42}}$ .

4 . Да се покаже дека векторите $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})-\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})$ и $\overrightarrow{c}$ се взаемно нормални.

Решение.

$=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{c}=$

$=(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}=$

$=(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{b}\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}\overrightarrow{c})=0$ .

Добиваме $\overrightarrow{p}\overrightarrow{c}=0$ , од каде следува $\overrightarrow{p}$ и $\overrightarrow{c}$ се взаемно нормални.

5 . Нека $\mid \overrightarrow{a}\mid =2$ , $\mid \overrightarrow{b}\mid =5$ и $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ . Да се пресмета $\lambda$ , така што векторите $\overrightarrow{p}=\lambda \overrightarrow{a}+\text{17}\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{q}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ да бидат взаемно нормални.

Решение.

Треба $\overrightarrow{p}\overrightarrow{q}=0$ , односно

6 . Да се определи векторот $\overrightarrow{x}$ кој е колинеарен со векторот $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ и ја задоволува равенката $\overrightarrow{a}\overrightarrow{x}=-\text{18}$ .

Решение.

$\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{a}=\mathrm{2\lambda }\overrightarrow{i}-\lambda \overrightarrow{j}+\mathrm{2\lambda }\overrightarrow{k}=\{\mathrm{2\lambda },-\lambda ,\mathrm{2\lambda }\}$ .

$\lambda =-\frac{\text{18}}{9}=-2$

$\overrightarrow{x}=-4\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}=\{-\mathrm{4,2,}-4\}$ .

7 . Да се докаже Талесовата теорема: Секој периферен агол над дијаметарот е прав.

Решение.

Слика 1

Доволно е да покажеме дека $\overrightarrow{\text{CA}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}=0$ .

Бидејќи $\overrightarrow{\text{OB}}=-\overrightarrow{\text{OA}}$ , имаме .

$\overrightarrow{\text{CA}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}=(\overrightarrow{\text{CO}}+\overrightarrow{\text{OA}})(\overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OA}})=\overrightarrow{\text{CO}}\overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}=r^2-r^2=0$ .

8 . Да се докаже Питагоровата теорема за правоаголен триаголник: Ако $a$ и $b$ се катетите во правоаголниот триаголник ABC , а $c$ е хипотенузата, тогаш $a^2+b^2=c^2$ .

Решение.

Слика 2

Ги поставуваме векторите $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ како на сл. 2. Тогаш $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ .

Нека $\mid \overrightarrow{a}\mid =a$ , $\mid \overrightarrow{b}\mid =b$ и $\mid \overrightarrow{c}\mid =c$ . Имаме:

$c^2=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}={\mid \overrightarrow{a}\mid }^2-2\cdot 0+{\mid \overrightarrow{b}\mid }^2=a^2+b^2$ .