0.4 Скаларен производ на два вектора

Скаларен производ на два вектора

Најпрво ќе се дефинира поимот за агол меѓу два вектора:

Дефиниција. Под агол φ = $\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ меѓу ненултите вектори $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се подразбира аголот кој меѓусебно го зафаќаат векторите доведени до заеднички почеток.

Сега следи дефиниција за скаларен производ:

Дефиниција. Скаларен производ на два вектора и е скаларната величина дефинирана со

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = $\mid \overrightarrow{a}\mid \cdot \mid \overrightarrow{b}\mid \text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ .

Очигледно е дека ако еден од множителите во скаларниот производ е нула вектор, тогаш и скаларниот производ е 0.

Својства на скаларниот производ

Од самата дефиниција за скаларен производ следуваат следните негови својства:

1. $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$ (комутативен закон);

2. $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$ (дистрибутивен закон);

3. $\lambda (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=(\lambda \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot (\lambda \overrightarrow{b})$ (множење со скалар λ);

4. Ако векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се паралелни, тогаш

$\overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\iff$ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = $\pm \mid \overrightarrow{a}\mid \cdot \mid \overrightarrow{b}\mid$ ;

5. $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=(\overrightarrow{a}{)}^2=\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2$ , односно $\mid \overrightarrow{a}\mid =\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$ ;

6. Ако двата ненулти вектори во скаларниот производ се взаемно нормални, тогаш

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ ;

7. Скаларниот производ меѓу единичните вектори е:

$\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}$ = 0, $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{k}$ = 0, $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}$ = 0,

$\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i}$ = 1, $\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{j}$ = 1, $\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k}$ = 1.

Aко векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се зададени со своите координати

$\overrightarrow{a}$ = { x ₁ , y ₁ , z ₁ } и $\overrightarrow{b}$ = { x ₂ , y ₂ , z ₂ },

нивниот скаларен производ изразен преку координатите на векторите е:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k})\cdot (x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k})=$

$\begin{array}{}=x_1{x}_2(\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{i})+x_1{y}_2(\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j})+x_1{z}_2(\overrightarrow{i}\cdot k)+\\ +y_1{x}_2(\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{i})+y_1{y}_2(\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{j})+y_1{z}_2(\overrightarrow{j}\cdot k)+\\ +z_1{x}_2(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i})+z_1{y}_2(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{j})+z_1{z}_2(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{k})=\\ x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2,\end{array}$

односно $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2\text{.}$

8. Аголот меѓу векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ е

$\text{cos}\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a}\mid \mid \overrightarrow{b}\mid }$ ,

или изразен преку координатите на векторите

$\text{cos}\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) = $\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$ .

Од дефиницијата за скаларен производ на два вектора следува дека знакот на скаларниот производ е определен од аголот што го зафакаат двата вектора и тоа:

$\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) е остар агол ⇔ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ >0;

$\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) е тап агол ⇔ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ <0;

$\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) = $\pi /2$ ⇔ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = 0.

9. ( Ортогонална проекција на вектор ) Ако векторите $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се доведат до заеднички почеток, секој од нив може ортогонално (нормално) да се проектира на другиот вектор со спуштање на нормала од крајот на едниот вектор кон правецот да другиот. Ортогоналната проекција на векторот $\overrightarrow{a}$ врз векторот $\overrightarrow{b}$ е вектор кој е во правец на векторот $\overrightarrow{b}$ и се означува со ${\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ . Преку тригонометриски релации (Сл. 1.7.) од скаларните вредности се добива

$\frac{\mid {\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}\mid }{\mid \overrightarrow{a}\mid }=\text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ ,

од каде

$\mid {\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}\mid =\mid \overrightarrow{a}\mid \text{cos}\angle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\text{.}$

Слика 1.7. Ортогонална проекција на вектор

Бидејќи $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ = | $\overrightarrow{a}$ || $\overrightarrow{b}$ | cos $\angle$ ( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ) = | $\overrightarrow{b}$ | | ${\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ |,

проекцијата на векторот $\overrightarrow{a}$ врз векторот $\overrightarrow{b}$ е вектор во правец на $\overrightarrow{b}$ и изразен како вектор е

$$ ${\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{b}\mid }\overrightarrow{b_0}$ ,

кеде $\overrightarrow{b_0}$ е единечниот вектор на $\overrightarrow{b}$ , или од $\overrightarrow{b_0}=\frac{\overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{b}\mid }$ следува

$$ ${\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ = $\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{b}{\mid }^2}\overrightarrow{b}$ .

Ортогоналната проекција на вектор врз вектор има примена во задачи во кои се бара даден вектор да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е со зададен правец. Така на пример, векторот $\overrightarrow{a}$ може да се претстави како сума од два взаемно нормални вектори од кои едниот е во правец на векторот $\overrightarrow{b}$ , тоа е векторот ${\text{pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ , а вториот е неговиот нормален вектор $\overrightarrow{a}{\text{-pr}}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}$ .

Пример 1.

Да се пресмета ${\text{pr}}_{\overrightarrow{c}}(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$ , ако $\overrightarrow{a}$ = {－2, 1, 1}, $\overrightarrow{b}$ = {1, 5, 0} и

$\overrightarrow{c}$ = {4, 4, －2}.

Решение.

Векторот 3 $\overrightarrow{a}$ － 2 $\overrightarrow{b}$ = 3{－2, 1, 1} － 2{1, 5, 0} = {－8, －7, 3}.

Проекцијата ${\text{pr}}_{\overrightarrow{c}}(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$ се пресметува со

${\text{pr}}_{\overrightarrow{c}}(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$ = $\frac{\left(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{c}}{\mid \overrightarrow{c}{\mid }^2}\overrightarrow{c}$ .

Бидејќи (3 $\overrightarrow{a}$ － 2 $\overrightarrow{b}$ )∙ $\overrightarrow{c}$ = {－8, －7, 3}∙{4, 4, －2} = (－8)4 + (－7)4 + 3(－2) = －66 ,

$\mid \overrightarrow{c}\mid =\sqrt{4^2+4^2+(-2{)}^2}=6$ ,

${\text{pr}}_{\overrightarrow{c}}(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=\frac{-\text{66}}{6^2}\overrightarrow{c}=\frac{-\text{11}}{6}$ {4, 4, －2} = { $\frac{-\text{22}}{3},\frac{-\text{22}}{3},\frac{-\text{11}}{3}$ }. ◄

Пример 2.

Покажи дека трите вектори $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$ и $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ се взаемно нормални вектори. Најди три скалари $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ такви што $\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ .

Решение.

Согласно својството 6, ако скаларниот производ на два ненулти вектори е нула, тогаш векторите се взаемно нормални. Трите зададени вектори се:

$\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=\{\mathrm{3,}-\mathrm{1,2}\}$ ,

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}=\{\mathrm{1,1,}-1\}$ ,

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{5,}-4\}$ .

Се пресметуваат нивните меѓусебни скаларни производи:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\{\mathrm{3,}-\mathrm{1,2}\}\cdot \{\mathrm{1,1,}-1\}=3-1-2=0$ ,

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\{\mathrm{3,}-\mathrm{1,2}\}\cdot \{\mathrm{1,}-\mathrm{5,}-4\}=3+5-8=0$ ,

$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\{\mathrm{1,1,}-1\}\cdot \{\mathrm{1,}-\mathrm{5,}-4\}=1-5+4=0$ .

Видејќи сите меѓусебни скаларни производи се нула, следува дек тие се взаемно нормални вектори, т.е. $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}$ . Штом векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ се взаемно нормални, тие се линеарно независни (ниту еден од овие три вектори не може да се претстави како линерна комбинација од останатите два вектора) и секој вектор од просторот може да се претстави како линерна комбинација од овие три вектори. Во условот на овој пример се бара векторот $\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ да се претстави како линерна комбинација од векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ , односно се бара да се најдат скалрите $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ така што

$\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ .

Ова векторска равенка се запишува преку координатите на векторите

$\alpha \{\mathrm{3,}-\mathrm{1,2}\}+\beta \{\mathrm{1,1,}-1\}+\gamma \{\mathrm{1,}-\mathrm{5,}-4\}=\{\mathrm{1,}-\mathrm{1,1}\}$ ,

односно

и не доведува до следниот систем равенки

За решавање на овој линеарен ситем од 3 равенки со 3 непознати најпрво ги наоѓаме неговите 4 детерминанти:

,

$D_{\alpha }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& -5\\ 1& -1& -4\end{array}\mid =-\text{18}$ ,

$D_{\beta }=\mid \begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ -1& -1& -5\\ 2& 1& -4\end{array}\mid =\text{14}$ ,

$D_{\gamma }=\mid \begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ -1& 1& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\mid =-2$ .

Ги определуваме непознатите скалари преку:

Тоа значи дека векторот $\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ се претставува како линерна комбинација од векторите $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ со равенката