0.3 Задачи од правоаголни координати на вектор

Решени задачи од правоаголни координати на вектори

1. За векторот $\overrightarrow{a}=\{\text{3,4,5}\}$ да се определи интензитетот и да се определат аглите што тој вектор ги зафаќа со координатните оски.

Решение.

$\mid \overrightarrow{a}\mid =\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{\text{50}}=5\sqrt{2}$ .

Нека $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ се аглите што векторот $\overrightarrow{a}$ ги зафаќа со координатните оски. Тогаш

$\text{cos}\alpha =\frac{3}{\mid \overrightarrow{a}\mid }=\frac{3}{5\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\text{10}}$ .

$\text{cos}\beta =\frac{4}{\mid \overrightarrow{a}\mid }=\frac{4}{5\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$ .

$\text{cos}\gamma =\frac{5}{\mid \overrightarrow{a}\mid }=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

2 . Нека се дадени точките A (4,-4,2) и B (2,6,-4). Да се определат координатите на векторот $\overrightarrow{\text{AB}}$ , а потоа да се пресмета неговиот интензитет и аглите што тој ги зафаќа со координатните оски.

Решение.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\{\text{2-4,6}+\text{4,-4-2}\}=\{\text{-2,10,-6}\}$ .

$\mid \overrightarrow{\text{AB}}\mid =\sqrt{4+\text{100}+\text{36}}=\sqrt{\text{140}}=2\sqrt{\text{35}}$ .

$\text{cos}\alpha =\frac{-2}{\mid \overrightarrow{\text{AB}}\mid }=\frac{-2}{2\sqrt{\text{35}}}=\frac{-\sqrt{\text{35}}}{\text{35}}$ .

$\text{cos}\beta =\frac{\text{10}}{\mid \overrightarrow{\text{AB}}\mid }=\frac{\text{10}}{2\sqrt{\text{35}}}=\frac{\sqrt{\text{35}}}{7}$ .

$\text{cos}\gamma =\frac{-6}{\mid \overrightarrow{\text{AB}}\mid }=\frac{-6}{2\sqrt{\text{35}}}=\frac{-3\sqrt{\text{35}}}{\text{35}}$ .

3 . Нека точките A (1,-2,0), B (2,1,3) и C (-2,0,5) се темиња на паралелограмот ABCD . Да се одреди четвртото теме D и должината на дијагоналата BD .

Решение.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\{\text{1,3,3}\}$ .

Нека $D(d_1,d_2,d_3)$ .

$\overrightarrow{\text{DC}}=\{-2-d_1\text{,0}-d_2,5-d_3\}$ .

слика 1

$\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{AB}}$ , па следува

$3=-d_2$

$3=5-d_3$ , т.е.

$d_1=-3$ , $d_2=-3$ , $d_3=2$ .

Добиваме $D(-3\text{,-3,2})$ .

Оттука, $\overrightarrow{\text{BD}}=\{-\mathrm{5,}-\mathrm{4,}-1\}$ .

$\overline{\text{BD}}=\mid \overrightarrow{\text{BD}}\mid =\sqrt{(-5{)}^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{\text{42}}$ .