0.3 Kwadratiese rye

Siyavula textbooks: wiskunde Page 1 / 1

Inleiding

In graad 10 het jy geleer van rekenkundige rye, waar die verskil tussen opeenvolgende terme konstant was. In hierdie hoofstuk leer ons van kwadratiese rye.

Wat is 'n kwadratiese ry ?

Kwadratiese ry

'n Kwadratiese ry is 'n ry waar die tweede verskille tussen opeenvolgende terme met dieselfde hoeveelheid verskil. Dit word 'n gemene tweede verskil genoem.

Byvoorbeeld

1; 2; 4; 7; 11; ...

is 'n kwadratiese ry. Kom ons stel vas hoekom ...

Indien ons die verskil tussen opeenvolgende terme neem, is

\begin{matrix} a_{2} - a_{1} & = 2 - 1 & = 1 \\ a_{3} - a_{2} & = 4 - 2 & = 2 \\ a_{4} - a_{3} & = 7 - 4 & = 3 \\ a_{5} - a_{4} & = 11 - 7 & = 4 \end{matrix}

dan werk ons die tweede verskille uit, wat bloot gekry word deur die verskille tussen opeenvolgende verskille { $1; 2; 3; 4; ...$ } te neem:

\begin{matrix} 2 - 1 & = & 1 \\ 3 - 2 & = & 1 \\ 4 - 3 & = & 1 \\ ... \end{matrix}

Ons sien dan dat die tweede verskille gelyk is aan "1". Dus is [link] 'n kwadratiese ry .

Let op dat die verskille tussen opeenvolgende terme (met ander woorde, die eerste verskille) van 'n kwadratiese ry, 'n ry vorm waar daar 'n konstante verskil is tussen opeenvolgende terme. In die voorbeeld hier bo, het die ry { $1; 2; 3; 4; ...$ }, wat gevorm is die die verskille tussen opeenvolgende terme van [link] te neem, 'n linêere formule van die vorm $a x + b$ .

Kwadratiese rye

Die volgende is ook voorbeelde van kwadratiese rye:

\begin{matrix} 3; 6; 10; 15; 21; ... \\ 4; 9; 16; 25; 36; ... \\ 7; 17; 31; 49; 71; ... \\ 2; 10; 26; 50; 82; ... \\ 31; 30; 27; 22; 15; ... \end{matrix}

Kan jy die gemene tweede verskille vir elk van die voorbeelde hier bo bereken?

Skryf neer die volgende twee terme en vind 'n formule vir die $n^{de}$ term in die ry $5, 12, 23, 38, . . ., . . .,$

Vind die eerste verskille tussen die terme
i.e. $7, 11, 15$
Vind die tweede verskille tussen die terme
die tweede verskil is 4.

As ons die ry voortsit, sal die verskille tussen terme die volgende wees:

$15 + 4 = 19$

$19 + 4 = 23$
Om die volgende twee terme te vind
Dus sal die volgende twee terme in die reeks die volgende wees:

$38 + 19 = 57$

$57 + 23 = 80$

Dus sal die ry die volgende wees: $5, 12, 23, 38, 57, 80$
Ons moet nou die formula vir die ry vind
Ons weet dat die tweede verskil 4 is. Die begin van die formule sal dus $2 n^{2}$ wees.
Ons moet nou die volgende deel van die ry uitwerk
Indien $n = 1$ , moet jy die volgende waarde in die ry kry, wat "5" vir hierdie spesifieke ry is. Die verskil tussen $2 n^{2} = 2$ en die oorspronklike getal (5) is 3, wat lei tot $n + 2$ .

Kyk of dit werk vir die tweede terme, d.i. wanneer $n = 2$ .

Dan is $2 n^{2} = 8$ . Die verskil tussen term twee en (12) en 8 is 4, wat geskryf kan word as $n + 2$ .

Dus vir die ry $5, 12, 23, 38, . . .$ is die formule vir die $n^{de}$ term $2 n^{2} + n + 2$ .

Algemene geval

Indien die ry kwadraties is, moet die $n^{de}$ term $T_{n} = a n^{2} + b n + c$ wees

TERME	$a + b + c$		$4 a + 2 b + c$		$9 a + 3 b + c$
$1^{ste}$ verskil		$3 a + b$		$5 a + b$		$7 a + b$
$2^{de}$ verskil			$2 a$		$2 a$

In elke geval is die tweede verskil $2 a$ . Hierdie feit kan gebruik word om $a$ te vind, dan $b$ en dan $c$ .

Die volgende ry is kwadraties: $8, 22, 42, 68, . . .$ Vind die formule.

Neem aan dat die formule $a n^{2} + b n + c$ is

TERME 8 22 42 68

$1^{ste}$ verskil 14 20 26

$2^{de}$ verskil 6 6 6
Bepaal die waardes vir $a, b$ en $c$
$\begin{matrix} Dan is 2 a & = & 6 \\ wat gee a & = & 3 \\ En 3 a + b & = & 14 \\ ∴ 9 + b & = & 14 \\ b & = & 5 \\ En a + b + c & = & 8 \\ ∴ 3 + 5 + c & = & 8 \\ c & = & 0 \end{matrix}$
Vind die formule
Die formule is dus: $n^{de} t e r m = 3 n^{2} + 5 n$
Gaan antwoord na
Vir

$\begin{matrix} n & = & 1, T_{1} = 3 {(1)}^{2} + 5 (1) = 8 \\ n & = & 2, T_{2} = 3 {(2)}^{2} + 5 (2) = 22 \\ n & = & 3, T_{3} = 3 {(3)}^{2} + 5 (3) = 42 \end{matrix}$

Bepaling van die $n^{de}$ -term van 'n kwadratiese ry

Laat die $n^{d e}$ -term vir 'n kwadratiese ry gegee word deur

\begin{matrix} a_{n} = A \cdot n^{2} + B \cdot n + C \end{matrix}

waar $A$ , $B$ and $C$ konstantes is wat bepaal moet word.

\begin{matrix} a_{n} & = & A \cdot n^{2} + B \cdot n + C \\ a_{1} & = & A {(1)}^{2} + B (1) + C = A + B + C \\ a_{2} & = & A {(2)}^{2} + B (2) + C = 4 A + 2 B + C \\ a_{3} & = & A {(3)}^{2} + B (3) + C = 9 A + 3 B + C \end{matrix}

\begin{matrix} Laat d & = & a_{2} - a_{1} \\ ∴ d & = & 3 A + B \end{matrix}

\Rightarrow B = d - 3 A

Die gemene tweede verskil word gekry vanaf

\begin{matrix} D & = & (a_{3} - a_{2}) - (a_{2} - a_{1}) \\ = & (5 A + B) - (3 A + B) \\ = & 2 A \end{matrix}

\Rightarrow A = \frac{D}{2}

Dus, vanuit [link] ,

B = d - \frac{3}{2} \cdot D

Vanuit [link] ,

C = a_{1} - (A + B) = a_{1} - \frac{D}{2} - d + \frac{3}{2} \cdot D

∴ C = a_{1} + D - d

Uiteindelik word die algemene formule vir die $n^{d e}$ term van 'n kwadratiese ry gegee deur

a_{n} = \frac{D}{2} \cdot n^{2} + (d - \frac{3}{2} D) \cdot n + (a_{1} - d + D)

Bestudeer die volgende patroon: 1; 7; 19; 37; 61; ...

Wat is die volgende getal in die ry?
Gebruik veranderlikes om 'n algebraïese formula op te stel wat die patroon veralgemeen.
Wat sal die $100^{ste}$ term van die ry wees?

Die volgende getal in die ry is
Die getalle vermeerder met veelvoude van 6

$1 + 6 (1) = 7$ , dan is $7 + 6 (2) = 19$

$19 + 6 (3) = 37$ , dan is $37 + 6 (4) = 61$

Dus is $61 + 6 (5) = 91$

Die volgende getal in die ry is 91.
Om die patroon te veralgemeen

TERME 1 7 19 37 61

$1^{ste}$ verskil 6 12 18 24

$2^{de}$ verskil 6 6 6 6

Die patroon sal 'n kwadratiese patroon opbring, aangesien die tweede verskille konstant is.

Dus is $a n^{2} + b n + c = y$

Vir die eerste term: $n = 1$ , dan is $y = 1$

Vir die tweede term: $n = 2$ , dan is $y = 7$

Vir die derde term: $n = 3$ , dan is $y = 19$

ensovoorts....
Om die stel vergelykings op te stel
$\begin{matrix} a + b + c & = & 1 \\ 4 a + 2 b + c & = & 7 \\ 9 a + 3 b + c & = & 19 \end{matrix}$
Los die stel vergelykings op
$\begin{matrix} verg. (2) - verg. (1) : & 3 a + b = 6 \\ verg. (3) - verg. (2) : & 5 a + b = 12 \\ verg. (5) - verg. (4) : & 2 a = 6 \\ ∴ & a = 3, b = - 3 e n c = 1 \end{matrix}$
Finale antwoord
Die algemene formule vir die patroon is $3 n^{2} - 3 n + 1$
Term 100
Vervang $n$ met 100:

$3 {(100)}^{2} - 3 (100) + 1 = 29 701$

Die waarde van die $100^{ste}$ term is 29 701.

Teken 'n grafiek van die terme van 'n kwadratiese ry

Die plot van $a_{n}$ vs. $n$ lewer 'n paraboliese grafiek vir 'n kwadratiese ry,

gegee die kwadratiese ry

\begin{matrix} 3; 6; 10; 15; 21; ... \end{matrix}

Indien ons elke van die terme teenoor die ooreenstemmende indeks teken, kry ons die grafiek van 'n parabool.

Oefeninge

Vind die eerste 5 terme van die kwadratiese ry gedefinieer deur:
$a_{n} = n^{2} + 2 n + 1$
Bepaal watter van die volgende rye kwadraties is deur die gemene tweede verskille te bereken:
1. $6; 9; 14; 21; 30; ...$
2. $1; 7; 17; 31; 49; ...$
3. $8; 17; 32; 53; 80; ...$
4. $9; 26; 51; 84; 125; ...$
5. $2; 20; 50; 92; 146; ...$
6. $5; 19; 41; 71; 109; ...$
7. $2; 6; 10; 14; 18; ...$
8. $3; 9; 15; 21; 27; ...$
9. $10; 24; 44; 70; 102; ...$
10. $1; 2, 5; 5; 8, 5; 13; ...$
11. $2, 5; 6; 10, 5; 16; 22, 5; ...$
12. $0, 5; 9; 20, 5; 35; 52, 5; ...$
Gegee $a_{n} = 2 n^{2}$ , vind die waarde van $n$ , $a_{n} = 242$
Gegee $a_{n} = {(n - 4)}^{2}$ , vind vir watter waarde van $n$ , $a_{n} = 36$
Gegee $a_{n} = n^{2} + 4$ , vind die waarde van $n$ , $a_{n} = 85$
Gegee $a_{n} = 3 n^{2}$ , vind $a_{11}$
Gegee $a_{n} = 7 n^{2} + 4 n$ , vind $a_{9}$
Gegee $a_{n} = 4 n^{2} + 3 n - 1$ , vind $a_{5}$
Gegee $a_{n} = 1, 5 n^{2}$ , vind $a_{10}$
Vir elke van die kwadratiese rye, vind die gemene tweede verskil, die formule vir die algemene term en gebruik dan die formule om a 100 te vind.
1. $4, 7, 12, 19, 28, ...$
2. $2, 8, 18, 32, 50, ...$
3. $7, 13, 23, 37, 55, ...$
4. $5, 14, 29, 50, 77, ...$
5. $7, 22, 47, 82, 127, ...$
6. $3, 10, 21, 36, 55, ...$
7. $3, 7, 13, 21, 31, ...$
8. $3, 9, 17, 27, 39, ...$

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask

	20 Hemostasis Dr. Olver By Brooke Delaney Start Exam
	2 Timeshare 2 By Jams Kalo Start Quiz
	Who Said This Quote Quiz By Yasser Ibrahim Start Quiz
	24 AP 24 Metabolism Nutrition Essay By OpenStax Start Flashcards
	31 Biology 31 Soil and Plant Nutrition MCQ By OpenStax Start Quiz
	3 AP 03 Cellular Level of Organization MCQ By OpenStax Start Quiz
	2 BOD - Neuropathology By Brooke Delaney Start Exam
	1 Understanding Societies 1 By Jessica Collett Start Exam
	9 Arts Society: Theater 9 Exam By Jonathan Long Start Exam
	Interviewing Skills MCQ By Mary Matera Start Quiz