0.2 Парцијална интеграција

Парцијална интеграција

Втор метод за решавање на интеграли е методот на парцијална интеграција.

Нека $u(x)$ и $v(x)$ се две диференцијабилни функции кои накратко ќе ги означиме со $u$ и $v$ . Диференцијалот од нивниот производ е

кој по интегрирање е

или

од каде се добива образецот за парцијална интеграција:

Методот на парцијална интеграција се применува кога се воочува дека обликот на подинтегралниот израз е пороизвод од функција $(u)$ и диференцијал од друга функција $(\text{dv})\text{.}$ Од функцијата $u$ се бара нејзиниот диференцијал $\text{du},$ а од диференцијалот $\text{dv}$ преку интегрирање се пресметува функцијата $v$ и се применува образецот за парцијална интеграција. Одбирањето кој израз ќе се земе за $u$ а кој за $\text{dv}$ се врши преку согледување интегралот $\int \text{vdu}$ да биде полесен за решавање.

Пример 1.

Да се реши интегралот

Се воочува дека подинтегралниот израз е производ функцијата $u=x$ и диференцијалот $\text{dv}={\text{tg}}^2\text{xdx}$ .

Од $u=x\Rightarrow \text{du}=\text{dx},$

а од

Затоа

Пример 2.

Да се реши интегралот

$I=\int {\text{ln}}^2\text{xdx}\text{.}$

За да се решни овој интеграл, се применува парцијална интеграција. Во овој пример нема дилема во одбирањето на изразот за $u$ , бидејќи подинтегралната функција не е производ од функции. Затоа

и

Решението на интегралот е

$I=\int {\text{ln}}^2\text{xdx}=x{\text{ln}}^{2}x-2\int \frac{x\text{ln}x}{x}\text{dx}=x{\text{ln}}^{2}x-2\int \text{ln}\text{xdx}\text{.}$

Последниот интеграл $I_1=\int \text{ln}\text{xdx}$ повторно се решава со парцијална интеграција во кој

и

и има решение

Затоа решението на интегралот е

$I=x{\text{ln}}^{2}x-2\int \text{ln}\text{xdx}=x{\text{ln}}^{2}x-2[x\text{ln}x-x]=x{\text{ln}}^{2}x-\mathrm{2x}\text{ln}x+\mathrm{2x}+C\text{.}$

Пример 3.

Понекогаш во постапката на решавање на интеграл може повторно да се вратиме на првобитниот интеграл. Таков е на пример

$I=\int e^x\text{sin}\text{xdx}$ .

За негово решавање се применува парцијална интеграција и сосема е сеедно која од функциите $e^x$ или $\text{sin}x$ се одбира за $u\text{.}$

Нека

$$ $u=e^x\Rightarrow \text{du}=e^x\text{dx}$

и

$\text{dv}=\text{sin}\text{xdx}\Rightarrow v=\int \text{sin}\text{xdx}=-\text{cos}x\text{.}$

Применувајќи парцијална интеграција

Новодобиентиот интеграл пак се решава со парцијална интеграција при што

и

и интегралот

$I=-e^x\text{cos}x+[e^x\text{sin}x-\int e^x\text{sin}x\text{dx}]=-e^x\text{cos}x+e^x\text{sin}x-I$ .

Забележуваме дека повторно се добива првобитниот интеграл и префрлувајќи го на левата страна во равенката се добива

или

од каде изразувајќи го $I$ се добива решениетo

Методите на смена на променливата и парцијална интеграција многу често заеднички се применуваат во решавањето на интеграли. Тоа ке го илустрираме преку пример.

Пример 4.

Да се реши интегралот

Најпрво се воведува смена на променливата

$\text{arcsin}x=t\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{dx}=\text{dt}$ .

Од смената $\text{arcsin}x=t\Rightarrow x=\text{sin}t$ и интегралот се транформира во

$I=\int \frac{x\text{arcsin}x}{\sqrt{1-x^2}}\text{dx}=\int t\text{sin}\text{tdt}$ .

Новодобиениот интеграл по промеливата $t$ се решава со парцијална интеграција

$u=t\Rightarrow \text{du}=\text{dt}$ ,

и

$\text{dv}=\text{sin}\text{tdt}\Rightarrow v=\int \text{sin}\text{tdt}=-\text{cos}t$ .

Затоа

$I=\int t\text{sin}\text{td}t=-t\text{cos}t+\int \text{cos}\text{tdt}=-t\text{cos}t+\text{sin}t+C$ .

Сега останува да се вратиме на старат променлива $x$ . Во решението на интегралот врз база на смената ставаме

$t=\text{arcsin}x$ ,

$\text{cos}t=\sqrt{1-{\text{sin}}^{2}t}=\sqrt{1-{\text{sin}}^2(\text{arcsin}x)}=\sqrt{1-x^2}$ ,

$\text{sin}t=\text{sin}(\text{arcsin}x)=x$ ,

и решението на интегралот е