0.2 Операции со множества

Операции со множества

Подмножество

Нека се дадени две множества A и B. Ако секој елемент од множеството A припаѓа и на множеството B, тогаш мно­жество­то A е подмножество (дел) од B и симболички се означува со $A\subseteq B$ . Овој исказ математички се запишува со

$(\forall a\in A)\Rightarrow (a\in B)\iff A\subseteq B\text{.}$

Ако постои барем еден елемент од множеството B кој не е елемент на A, множеството A е вистинско подмножество од B се означува со $A\subset B$ и се запишува со

$\begin{array}{}(\exists b\in B)\wedge \\ \end{array}$ $(b\notin A)\iff A\subset B\text{.}$

Јасно е дека секое множество A е подмно­жес­тво од самото себе, т.е. $A\subseteq A$ .

Еднаквост на множества

Две множества A и B се еднакви ако имаат исти елементи и едаквоста се означува со A=B. Еднаквоста на множествата значи дека сите елементи од множеството A се елементи на множеството B и обратно, сите елементи од множеството B се елементи на множеството A или ако $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$ , тогаш A=B.

Нееднаквоста на мо­жествата A и B се означува со .

Унија на множества

Унија на множествата A и B е множество кое се состои од сите елементи кои припаѓаат барем на едно од множествата A или B и се означува

$A\cup B=\{x\mid (x\in A)\vee (x\in B)\}\text{.}$

Согласно на горенаведената дефиниција за унија, може да се дефинира унија на конечен број множеста $A_i,(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$ со:

$A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_i=\cup {}_{i=1}^n{A}_i$

или унија на бесконечен број множества $A_i,(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.})$ со:

$A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_i\cup \dots =\cup {}_{i=1}^{\infty }{A}_i$

Пример 1 .

Нека се дадени три множества $A_1=\{a,b,c\},A_2=\{a,\mathrm{1,2}\},$ $A_3=\{a,x,\mathrm{1,3}\}$ .

Унијата на овие множества е

$A_1\cup A_2\cup A_3=\{a,b,c,x,\mathrm{1,2,3}\}\text{.}$

Пресек на множества

Пресек на множествата A и B е множество кое се состои од заедничките елементи на множествата A и B и се означува со:

$A\cap B=\{x\mid (x\in A)\wedge (x\in B)\}\text{.}$

Пресекот на конечен број множества $A_i,(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$ се дефини­ра со:

$A_1\cap A_2\cap A_3\dots \cap A_i={\cap }_{i=1}^n{A}_i$

додека пресекот на бесконечен број множества $A_i,(i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.})$ се дефинира со:

$A_1\cap A_2\cap A_3\dots \cap A_i\cap \dots ={\cap }_{i=1}^{\infty }{A}_i$

Пример 2 .

За множествата $A_1=\{a,b,c\},A_2=\{a,\mathrm{1,2}\},A_3=\{a,x,\mathrm{1,3}\}$ пресекот е

$A_1\cap A_2\cap A_3=\{a\}\text{.}$

Разлика на множества

Разлика на множествата A и B се означува со A \ B и тоа е множество кое се состои од елементи кои припаѓаат на множеството A а не припаѓаат на множеството B, односно

$\text{AB}=\{x\mid (x\in A)\wedge (x\notin B)\}\text{.}$

Пример 3 .

За множествата $A=\{a,b,c\},B=\{a,\mathrm{1,2}\}$ разликата е

A \ B= $\{b,c\}$ .

Ако $B\subseteq X$ , тогаш множеството X \ B се нарекува комплемент на множество­то B и се означува со $\begin{array}{}\\ X=C_{X}B=\bar{B}\text{.}\end{array}$

Пример 4 .

За бесконечните множества од реални броеви $A=(\mathrm{0,5}),B=[\mathrm{1,6}]$ , односно и ќе важи:

,

,

,

.

Производ на множества

Производ на две множества A и B се дефинира со:

$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$ .

Овој производ се нарекува уште и Декартов производ и неговите елементи се подредени парови на елементи во кои првиот елемент од парот припаѓа на првото, а вториот елемент на второто множество од производот.

Пример 5 .

За множествата $A=\{a,b,c\},B=\{a,\mathrm{1,2}\}$ производот е:

$A\times B=\{(a,a),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2),(c,a),(c,1),(c,2)\}\text{.}$

Пример 6 .

Ако , , тогаш:

и геометриски претставува множество на внатрешни и грани­чни точки од правоаголникот ограничен со правите: $x=\mathrm{1,}x=\mathrm{4,}y=\mathrm{2,}y=6$ .