0.11 Апсолутна вредност

Апсолутна вредност

Дефиниција.

Апсолутна вредност или модул на бројот $a\in R$ се означу­ва со $\mid a\mid$ и тоа е позитивниот број определен со изразот

Од дефиницијата за апсолутна вредност следува дека секогаш $\mid a\mid \ge 0\text{.}$

Пример.

$\mid \text{25}\mid =\text{25};\mid 0\mid =0;\mid -6\mid =-(-6)=6\text{.}$

За апсолутна вредност важат следните релации:

$\mid a\cdot b\mid =\mid a\mid \cdot \mid b\mid$ ,

Релацијата

означува дека

Согласно на претходната релација, релацијата

ќе означува дека

односно

Задача.

Да се најдат решенијата на неравенката $\mid x^3-1\mid \ge 1-x\text{.}$

Решение.

Од разложувањето

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ и $x^2+x+1>\mathrm{0,}\forall x\in R,$

следува дека

$\mid x^3-1\mid =\mid x-1\mid (x^2+x+1)\text{.}$

Со примена на дефиницијата за апсолутна вредност се добива

и затоа неравенката ќе се разгледува во следните два интервали $I_1=(-\infty ,1)$ и $I_2=[\mathrm{1,}+\infty )$ .

• Најпрво нека $x\in I_1=(-\infty ,1)$ .

Во овој интервал $\mid x-1\mid =-x+1=1-x>0$ и неравнката ќе го има обликот

$(-x+1)(x^2+x+1)\ge 1-x$

и по кратење со се добива неравенството

$x^2-x\ge 0$ кое е точно за $x\in \{(-\infty ,-1]\cup [\mathrm{0,}+\infty )\}\cap I_1=(-\infty ,-1]\cup [\mathrm{0,1})\text{.}$

• Нека $x\in I_2=[\mathrm{1,}+\infty )\text{.}$

Во овој интервал $\mid x-1\mid =x-1$ и неравнката ќе го има обликот

$(x-1)(x^2+x+1)\ge 1-x$

и по аналогна постапка како во првиот интервал се добива неравенството

$x^2+x+2\ge 0$

кое е секогаш точно, па затоа решението во овој интервал ќе биде целиот интервал, односно $x\in [\mathrm{1,}+\infty )\text{.}$

Следува дека решението на задачата ќе биде унија од решенијата, односно

$x\in (-\infty ,-1]\cup [\mathrm{0,1})\cup [\mathrm{1,}+\infty )=(-\infty ,-1]\cup [\mathrm{0,}+\infty )\text{.}$