0.10 Асимптоти

Асимптоти

Ако една крива линија која се продолжува во бесконечност сé повеќе се доближува до некоја права линија, т.е. растојанието на точките од кривата до правата тежи кон нула, правата се нарекува асимптота .

Една функција може да има три вида на асимптоти и тоа: вертикални, хоризонтални и коси.

Верикална асимптота

Правата $x=a$ е вертикална асимптота за функцијата $y=f(x)$ ако важи некој од случаите:

• Вертиклните асимптоти се вертикални прави кон кои графикот на функцијата бесконечно се доближува.
• Графикот на функцијата и верикалната асимптота не може да имаат заеднички точки.
• Ако функцијата е дробнорационална, вертикални асимптоти се вредностите на независната променлива за кои именителот е еднаков на нула.
• Функција може да има повеке вертикални асимптоти и тоа се точки во кои функцијта е прекината.

Решени примери 1 на дробнорационални функции со вертикални асимптоти.

Хоризонтална асимптота

Правата $y=b$ е хоризонтална асимптота за функцијата $y=f(x)$ ако

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f(x)=b$ или $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}f(x)=b$ .

• Хоризонталаната асимптота е хоризонтална права кон која графикот на функцијата бесконечно се доближува за бесконечни вредности на независната променлива.
• Ако функцијата е дробнорационална и ако полиномите во именителот и броителот се со исти степени, коефициентот b на хоризонталната асимптота е еднаков на количникот од коефициентитите пред највисоката степен од броителот и именителот.
• Ако во дробнорационалната функција степенот во именителот е поголем од оној во броителот, хоризонтална асимптота ќе биде $x-$ оската.
• Ако во дробнорационалната функција степенот во броителот е попоголем од оној во именителот, функцијата нема хоризонтална асимптота.
• Графикот на функцијата може да има пресек со хоризонталната асимптота, но само во конечен број на точки.

Решени примери 2 на дробнорационални функции со хоризонтална асимптота.

Коса асимптота

Коса асимптота е права од обликот $y=\text{kx}+n$ за која растојанието до функција $y=f(x)$ е бесконечно мало кога аргументот се стреми кон некоја од бесконечностите т.е. $+\infty$ или $-\infty \text{.}$ Таа се пресметува со

$$ $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}\left[f(x)-(\text{kx}+n)\right]=0$ или $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left[f(x)-(\text{kx}+n)\right]=0$ .

Поаѓајки од последната гранична вредност по делење со $x$ се добива

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left[\frac{f(x)}{x}-k-\frac{n}{x}\right]=0$ $$ односно $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{f(x)}{x}-\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{n}{x}=k$ .

Бидејќи $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{n}{x}=0$ , се добива дека коефициентот $k$ се определува преку

$k=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\frac{f(x)}{x}$ .

Коефициентот $n$ се определува од

$n=\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left[f(x)-\text{kx}\right]$ .

• Косата асимптота е коса права кон која се доближува графикот на функцијата.
• Графикот на функцијата и косата асиптота може да немаат заеднички точки или пак се сечат во конечен број на точки.
• Функција неможе да има истовремено коса и хоризонтална асимптота, бидејки хоризонтална права е специјален случај од коса права.

Решени примери 3 на дробнорационални функции со коса асимптота.