0.1 Transformacija pogleda

Transformacija pogleda

Na slici Euklidovašetnja (Les Promenades d'Euclide), belgijski umetnik Rene Magrit (Magritte) predstavlja nam obmanu oka koje perspektivu jednog pariskog bulevara gotovo ne razlikuje od konusnog oblika jedne srednjevekovne građevine.

Ovakve dvosmislenosti i druge obmanečula vida navode nas na traženje preciznog formalnog“jezika”kojim bi računskoj mašini preneli naše geometrijske ideje na jednoznačan način. Međutim, ova slika sadrži i“priču”upravo o onom optičko-geometrijskom odnosu o kome ovde raspravljamo i koji se zove transformacija pogleda . Naime, na Magritovoj slici rađenoj u tehnici ulje ne platnu, vidimo jedan veliki prozor nekog pariskog salona ispred koga stoji slikarski stafelaj na kome je tek završeno platno na kome se vidi deo pariskog pejzaža. Deo objektivne stvarnosti tako je verno prenet na platno da se više ne razlikuje od stvarnosti. Slikarsko platno možemo poistovetiti sa ekranom računara, a naslikano platno naštafelaju sa vidnim poljem koje se u grafici zove vjuport ( viewport ). Na pravougaonom polju vjuporta, umetnik predstavlja deo realnosti (bulevar i kulu) koji vidi kroz prozor. Ovaj prozor se u grafici zove svetski prozor ( world window ). Sada ostaje samo da slikarsko platno zamenimo ekranom računara.

Prvi korak u tom pravcu je definisanje“okvira”na ekranu računara u komećemo raditi i razvijati neki našprojekat. Taj se“okvir”zove se ekranski prozor i predstavljen je pravougaonikomčija donja stranica predstavlja ekransku $x-$ koordinatu, dok leva, vertikalna stranica predstavlja ekransku $y-$ koordinatu (Slika 2, desno).

Na osnovu rečenog, možemo naslutiti da je potrebno, bilo preračunati svetske koordinate u ekranske, bilo obrnuto. Lako je ustanoviti da je odnos svetskih $(X,Y)$ i ekranskih koordinata $(x,y)$ dat linearnom vezom

(1) $x=\text{aX}+e,y=\text{dY}+f$ ,

pričemu su $a,e,d,f$ realne konstante i pritom je Ova transformacija je u računarskoj grafici poznata kao transformacija pogleda ili, preciznije window-to-viewport transformacija . Pravougaonik,čije su stranice paralelne ko­ordinatnim osama je potpuno definisan ukoliko poznajemo koordinate njegovog donjeg levog i gornjeg desnog temena. Dakle, svetski prozor je definisan sa dva uređena para $(X_1,Y_1)$ i $(X_2,Y_2)$ , pričemu, neka je i ,što u stvari znači da je $(X_1,Y_1)$ njegovo donje levo, a $(X_2,Y_2)$ gornje desno teme. Ako na sličan način obeležimo i donje levo tj. gornje desno teme vjuporta, tj. sa $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$ , mogućne su dve situacije.

• Poznata je transformacija (1), tj. konstante $a,e,d,f$ i jedan od dva pravougaonika (window ili viewport). Tada iz (1) izračunavamo drugi.
• Poznati su window $P=\{(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)\}$ i viewport $p=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ . Tada se koeficijenti transformacije (1) izračunavaju iz sistema jednačina

(2) $\begin{array}{}{x}_1={\text{aX}}_1+e,\\ x_2={\text{aX}}_2+e,\end{array}$ tj. $\begin{array}{}{y}_1={\text{dY}}_1+f,\\ y_2={\text{dY}}_2+f,\end{array}$

odakle se dobijaju koeficijenti window-to-viewport transformacije

$a=\frac{x_2-x_1}{X_2-X_1},e=x_1-{\text{aX}}_1=\frac{x_1{X}_2-X_1{x}_2}{X_2-X_1}$

$d=\frac{y_2-y_1}{Y_2-Y_1},f=y_1-{\text{dY}}_1=\frac{y_1{Y}_2-Y_1{y}_2}{Y_2-Y_1}\text{.}$

Primetimo da se transformacija (1) može napisati u matričnom obliku

(3) $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right),$

tako da se inverzna transformacija moze izračunati primenom inverzne matrice

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)}^{-1}\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)\right\},$

tj.

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/a& 0\\ 0& 1/d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-e\\ y-f\end{array}\right)\text{.}$

$$

Tako se najzad dobija

$X=(x-e)/a,Y=(y-f)/d,$ ili

$X=\frac{X_2-X_1}{x_2-x_1}x-\frac{x_1{X}_2-x_2{X}_1}{x_2-x_1},Y=\frac{Y_2-Y_1}{y_2-y_1}y-\frac{y_1{Y}_2-y_2{Y}_1}{y_2-y_1}\text{.}$

Direktna i inverzna transformacija prikazane su na Slici 3.

Naravno, $a$ i $d$ moraju biti različiti od 0 inače bi transformacija (1) bila loše definisana. Uslovi se zovu uslovi regularnosti , i pod tim uslovima transformacija (1) tj. (3) je regularna .

U slučaju da bilo $a$ ili $d$ ili pak istovremeno $a$ i $d$ budu = 0, transformacija je degenerisana . Degenerisana transformacija u ovom slučaju znači da slika pravougaonika P nije pravougaonik većgeometrijski objekat niže dimenzionalnosti. Tako, ako je slika degeneriše u dužkoja se poklapa sa levom vertikalnom stranicom pravougaonika p. Ako je pravougaonik P se preslikava u donju osnovu (dakle opet u duž), dok se u slučaju a = 0, d = 0, pravougaonik P preslikava u tačku $(e,f),$ koja je u regularnom slučaju donje levo teme vjuporta p. Sva tri slučaja degenerisane transformacije prikazana su na Slici 4.