0.1 Смена на променливата во неопределениот интеграл

Смена на променливата во неопределениот интеграл

Нека во интегралот

подинтегралната функција $f(x)$ не е некоја од наведените во таблицата од основни интеграли. Ако за независната променлива $x$ се воведе смена на променливата

$x=g(t)$ ,

каде $t$ е нова независна промелива, а $g(t)$ диференцијабилна функција, тогаш ако со смена на подинтегралниот израз

се добие интеграл од основната талица, по интегрирање и враќање на првобитната променлива се добива решението на интегралот

Овој метод наречен метод на смена на промеливата се користи ако по новата променлива се добие основен интеграл, а после неговото решавање по новата промелива се враќаме на првобитната променлива.

Преку различни карактеристични примери ќе го прикажеме методот на смена на променливата во решавање на интегралите.

Пример 1.

Да се реши интегралот $\int \text{sin}3\text{xdx}\text{.}$

За решавање на овој интеграл, за кој подинтегралната функција $\text{sin}\mathrm{3x}$ не е елементарна, се воведува смената

и со нејзино диференцирање се добива

Затоа решението на интегралот е

Пример 2.

Да се реши интегралот $\int \frac{1}{\mathrm{2x}-3}\text{dx}\text{.}$

Интегралот не е табличен, но линеарниот член во именителот асоцира на табличен интеграл чие решение е логаритамска функција. Се воведува смената

$\mathrm{2x}-3=t\Rightarrow 2\text{dx}=\text{dt}\Rightarrow \text{dx}=\frac{1}{2}\text{dt}$ ,

со која интегралот се сведува на табличен и се решава:

$\int \frac{1}{\mathrm{2x}-3}\text{dx}=\frac{1}{2}\int \frac{\text{dt}}{t}=\frac{1}{2}\text{ln}\mid t\mid +C=\frac{1}{2}\text{ln}\mid \mathrm{2x}-3\mid +C$ .

Пример 3.

Да се реши интегралот $\int x\sqrt{x^2+3}\text{dx}\text{.}$

Во овој пример се забележува дека под знакот за квадратен корен се наоѓа квадратна функција, а во подинтегралната функција се наоѓа како множител линерна функција која е извод од квадратна функција. Затоа се корисити смената

и интегралот по новата променлива е решлив и табличен

Пример 4.

Да се реши интегралот $\int \text{tan}\text{xdx}\text{.}$

Поднитегралната функција $\text{tan}x$ не е наведена во табличните интеграли и затоа во интегралот

се користи смената

со која интегралот е решлив

Аналогно, $\int \text{cot}\text{xdx}=\text{ln}\mid \text{sin}x\mid +C\text{.}$

Пример 5.

Интегралот од облик $\int \frac{\text{dx}}{a^2+x^2}\text{dx}$ се решава со негово сведување на табличниот интеграл $\int \frac{\text{dx}}{1+x^2}\text{dx}=\text{arctan}x+C\text{.}$

За таа цел интегралот се доведува во облик

$\int \frac{\text{dx}}{a^2+x^2}\text{dx}=\frac{1}{a^2}\int \frac{\text{dx}}{1+{\left(\frac{x}{a}\right)}^2}\text{dx}$

за кој се користи смената

со која интегралот се решава

Пример 6.

Со иста смена и аналогна постапка се решаваат и интегралите

$\int \frac{\text{dx}}{a^2-x^2}\text{dx}=\frac{1}{\mathrm{2a}}\text{ln}\mid \frac{a+x}{a-x}\mid +C$

Пример 7.

Да се реши интегралот $\int \frac{1}{\sqrt{8+\mathrm{6x}-{\mathrm{9x}}^2}}\text{dx}\text{.}$

Квадратниот израз под квадратен корен се доведува до полн квадрат

$\int \frac{1}{\sqrt{8+\mathrm{6x}-{\mathrm{9x}}^2}}\text{dx}=\int \frac{1}{\sqrt{8+1-1+\mathrm{6x}-{\mathrm{9x}}^2}}\text{dx}=\int \frac{1}{\sqrt{9-(1-\mathrm{6x}+{\mathrm{9x}}^2)}}\text{dx}=\int \frac{1}{\sqrt{9-(1-\mathrm{3x}{)}^2}}\text{dx}$ кој со смента

$\begin{array}{}1-\mathrm{3x}=t\\ \text{dx}=-\frac{\text{dt}}{3}\end{array}$

се сведува на

Пример 8.

Да се реши интегралот $\int \frac{1}{2+\sqrt[3]{x+1}}\text{dx}\text{.}$

Кога во подинтегралната функција се јавува корен, се воведува смена со која ќе се елиминира коренот. Затоа во овој пример се користи смента

$x+1=t^3\Rightarrow \text{dx}={\mathrm{3t}}^2\text{dt}\text{.}$

Со оваа смена интегралот е решлив и

бидејки

$t^2:(2+t)=t-2+\frac{4}{2+t}$ .

Пример 9.

Да се реши интегралот $\int \frac{\sqrt{{\left(9-x^2\right)}^3}}{x^6}\text{dx}\text{.}$

Интегралите од обликот $\int f(\sqrt{a^2-x^2})\text{dx}$ се решаваат сo смената $x=a\text{sin}t\text{.}$

Во дадената задача $a=3$ и со воведување на смената

се добива

Од смената

$\begin{array}{}x=3\text{sin}t\Rightarrow \\ \text{sin}t=\frac{x}{3},\\ \text{cos}t=\sqrt{1-{\text{sin}}^{2}t}=\sqrt{1-{\left(\frac{x}{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\sqrt{9-x^2},\end{array}$

и враќајки се на решението на интегралот и негово изразување преку променливата $x$ се добива