0.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số  (Page 6/7)

Bảng 2.4: Bài giải bằng phương pháp của Milne.

+ : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vòng lặp

d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i0 = 0 là:

$i=i_0+{\int }_0^t\left[e(t)-i-{\mathrm{3i}}^3\right]\text{dt}$

Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i0 = 0

$i^{(1)}={\int }_0^{t}5t\text{dt}=\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}$

Thay i(1) cho i trong phương trình tích phân, thu được:

$i^{(2)}={\int }_0^t\mathrm{5t}-\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}-\frac{\text{375}{t}^6}{8}\text{dt}=\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}-\frac{\text{375}{t}^7}{\text{56}}$

Quá trình tiếp tục, ta được:

$i^{(3)}={\int }_0^t\mathrm{5t}-\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}-\frac{\text{375}{t}^6}{8}+\frac{\text{375}{t}^7}{7}-\frac{\text{125}{t}^8}{8}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dt}$

$=\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}+\frac{{\mathrm{5t}}^4}{\text{24}}-\frac{\text{375}{t}^7}{\text{56}}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$

$i^{(4)}={\int }_0^t\mathrm{5t}-\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}-\frac{{\mathrm{5t}}^4}{\text{24}}-\frac{\text{375}{t}^6}{8}+\frac{\text{375}{t}^7}{7}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dt}$

$=\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}+\frac{{\mathrm{5t}}^4}{\text{24}}-\frac{t^5}{\text{24}}-\frac{\text{375}{t}^7}{\text{56}}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$

Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là:

$i=\frac{{\mathrm{5t}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{5t}}^3}{6}+\frac{{\mathrm{5t}}^4}{\text{24}}$

Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên không chú ý đến sai số lớn thì .

5log t  log0,00120

log t  9,415836 - 10

t  0,2605

Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm có thể dùng chỉ để thu được y cho trong khoảng 0  t  0,2; Bởi vì cho t>0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2  t 0,3 như sau:

$i=\mathrm{0,}\text{09367}+{\int }_{\mathrm{0,2}}^t1-i-{\mathrm{3i}}^3\text{dt}$

$i^{(1)}=\mathrm{0,}\text{09367}+{\int }_{\mathrm{0,2}}^t\left\{1-\mathrm{0,}\text{09367}-3{\mathrm{0,}\text{09367}}^3\right\}\text{dt}=\text{0,09367}+\text{0,90386}(\text{t - 0,2})$

$i^{(2)}=\mathrm{0,}\text{09367}+{\int }_{\mathrm{0,2}}^t\left\{1-\mathrm{0,}\text{09367}-\mathrm{0,}\text{90386}t-\mathrm{0,2}-3{\left[\mathrm{0,}\text{09367}+\mathrm{0,}\text{90386}(t-\mathrm{0,2})\right]}^3\right\}\text{dt}$ $=\mathrm{0,}\text{09367}+\mathrm{0,}\text{90386}{\int }_{\mathrm{0,2}}^t\left\{1-\mathrm{1,}\text{07897}(t-\mathrm{0,2})-\mathrm{0,}\text{76189}{t-\mathrm{0,2}}^2-\mathrm{2,}\text{45089}(t-\mathrm{0,2}{)}^3\right\}\text{dt}$ $\begin{array}{}=\mathrm{0,}\text{09367}+\mathrm{0,}\text{90386}x\\ x\left\{(t-\mathrm{0,2})-\mathrm{1,}\text{07897}\frac{(t-\mathrm{0,2}{)}^2}{2}-\mathrm{0,}\text{76189}\frac{(t-\mathrm{0,2}{)}^3}{3}-\mathrm{2,}\text{45089}\frac{(t-\mathrm{0,2}{)}^4}{4}\right\}\text{dt}\end{array}$