0.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số  (Page 5/7)

${\mathrm{\Delta i}}_n^{(1)}=\frac{\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n+\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_{n+1}^{(0)}}{2}\mathrm{\Delta t}$

$i_{n+1}^{(1)}=i_n+{\mathrm{\Delta i}}_n^{(1)}$

Với $\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_{n+1}^{(0)}=e_{n+1}-\{1+3(i_{n+1}^{(0)}{)}^2\}{i}_{n+1}^{(0)}$

Thay thế giá trị ban đầu e0 = 0 và i0 = 0 vào trong phương trình vi phân $\frac{\text{di}}{\text{dx}}{\mid }_0=0$

Do đó: ${\mathrm{\Delta i}}_0^{(0)}=0$ ; $i_1^{(0)}=0$ .

Thay thế vào trong phương trình vi phân $i_1^{(0)}=0$ và e1 = 0,125

$\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_1^{(0)}=\mathrm{0,}\text{125}-\{1+3(0{)}^2\}0=\mathrm{0,}\text{125}$

Và ${\mathrm{\Delta i}}_0^{(1)}=(\frac{\mathrm{0,}\text{125}+0}{2})\mathrm{0,}\text{025}=\mathrm{0,}\text{00156}$

Nên

$i_1^{(1)}=0+\mathrm{0,}\text{00156}=\mathrm{0,}\text{00156}$

Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, không thực hiện lặp lại $i_{n+1}^{(1)}=i_{n+1}$ . Bài giải thu được bằng phương pháp biến đổi Euler được đưa vào trong bảng 2.2.

$\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n$ $\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_{n+1}^{(0)}$ Bảng 2.2: Bài giải bằng phương pháp biến đổi Euler.

c. Phương trình dùng phương pháp Runge-Kutta để giải.

$\frac{\text{di}}{\text{dt}}=e(t)-(1+{\mathrm{3i}}^2)i$

Ta có:

$k_1=\{e(t_n)-(1+{\mathrm{3i}}_n^2)i_n\}\mathrm{\Delta t}$

$k_2=\left\{e(t_n+\frac{\mathrm{\Delta t}}{2})-\left[1+3{i_n+\frac{k_1}{2}}^2\right]\text{.}i_n+\frac{k_1}{2}\right\}\mathrm{\Delta t}$

$k_3=\left\{e(t_n+\frac{\mathrm{\Delta t}}{2})-\left[1+3{i_n+\frac{k_2}{2}}^2\right]\text{.}i_n+\frac{k_2}{2}\right\}\mathrm{\Delta t}$

$k_4=\{e(t_n+\mathrm{\Delta t})-\left[1+3(i_n+k_3{)}^2\right]\text{.}(i_n+k_3)\}\mathrm{\Delta t}$

${\mathrm{\Delta i}}_n=(k_1+{\mathrm{2k}}_2+{\mathrm{2k}}_3+k_4)$

in+1 = in + in

Với:

e(tn) = en

$e(t_n+\frac{\mathrm{\Delta t}}{2})=\frac{e_n+e_{n+1}}{2}$

e(tn + t) = en+1

Thay thế giá trị ban đầu tìm được k1:

k1 = 0.

Tìm được k2­:

$k_2=\left\{\frac{0+\mathrm{0,}\text{125}}{2}-\left[1+3(0{)}^2\right]0\right\}\mathrm{0,}\text{025}=\mathrm{0,}\text{00156}$

Tìm được k3:

$k_3=\left\{\frac{0+\mathrm{0,}\text{125}}{2}-\left[1+3{\frac{\mathrm{0,}\text{00156}}{2}}^2\right]\frac{\mathrm{0,}\text{00156}}{2}\right\}\mathrm{0,}\text{025}=\mathrm{0,}\text{00154}$

Tìm được k4:

­ $k_4=\left\{0+\mathrm{0,}\text{125}-\left[1+3(\mathrm{0,}\text{00154}{)}^2\right]\mathrm{0,}\text{00154}\right\}\mathrm{0,}\text{025}=\mathrm{0,}\text{00309}$

Thì

${\mathrm{\Delta i}}_0=(0+\mathrm{0,}\text{00312}+\mathrm{0,}\text{00308}+\mathrm{0,}\text{00309})=\mathrm{0,}\text{00155}$

Và i1 = i0 + i0 = 0+ 0,00155 = 0,00155

Bài giải thu được bằng phương pháp Runge-Kutta được đưa vào trong bảng 2.3.

d. Công thức dự đoán sửa đổi của phương pháp Milne là.

$i_{n+1}^{(0)}=i_{n-3}+\frac{\mathrm{4\Delta t}}{3}(\mathrm{2i}{\text{'}}_{n-2}-i{\text{'}}_{n-1}+\mathrm{2i}{\text{'}}_n)$

$i_{n+1}=i_{n-1}+\frac{\mathrm{\Delta t}}{3}(i{\text{'}}_{n-1}+\mathrm{4i}{\text{'}}_n+i{\text{'}}_{n+1})$

Với

$i{\text{'}}_n=\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n$

Và

$\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n=e_n-(1+{\mathrm{3i}}_n^2)i_n$

Các giá trị ban đầu đòi hỏi phải thu được từ lời giải của phương pháp Runge-Kutta.

Với i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372.

Thay thế vào phương trình vi phân, ta có:

i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127.

Bắt đầu tại t4 = 0,100 và thay thế vào trong công thức dự đoán, ước lượng đầu tiên cho i4 là:

$i_4^{(0)}=0+(\mathrm{0,}\text{025})\left[2(\mathrm{0,}\text{12345})-\mathrm{0,}\text{24385}+2(\mathrm{0,}\text{36127})\right]=\mathrm{0,}\text{02418}$

Thay thế e4 = 0,500 và i4 = 0,02418 vào trong phương trình vi phân, ta được:

i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418)2]0,02418 = 0,47578

Dự đoán và giá trị chính xác, chỉ khác nhau một số hàng thập phân vì vậy không đòi hỏi lặp lại nhiều lần. Kết quả sau từng bước được ghi vào bảng 2.4. Tại t9 giá trị dự đoán của dòng điện là 0,11742 nhưng trong khi giá trị chính xác là 0,11639. Việc thực hiện lặp lại bởi sự thay thế giá trị chính xác trong phương trình vi phân đã thu được i’9 = 0,87888. Cứ lần lượt dùng trong công thức sửa đổi để thu được ước lượng thứ hai cho i9 = 0,11640, trước khi kiểm tra giá trị chính xác. Thực hiện lặp lại trong tất cả các bước để đảm bảo yêu cầu chính xác.