0.1 Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số  (Page 4/7)

$y_{n+1}^{(0)}=y_{n-3}+\frac{\mathrm{4h}}{3}(\mathrm{2y}{\text{'}}_{n-2}-y{\text{'}}_{n-1}+\mathrm{2y}{\text{'}}_n)$

Và $y_{n+1}=y_{n-1}+\frac{h}{3}(y{\text{'}}_{n-1}+\mathrm{4y}{\text{'}}_n+y{\text{'}}_{n+1})$

Với: $y{\text{'}}_{n+1}=f(x_{n+1},y_{n+1}^{(0)})$

Bắt đầu của sự tính toán đòi hỏi biết bốn giá trị của y. Có thể đã tính toán bởi Runge-Kutta hay một số phương pháp số trước khi sử dụng công thức dự đoán sửa đổi của Milne. Sai số trong phương pháp là bậc h5.

Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên chỉ vài lần lặp là đòi hỏi thu được yn+1 hoàn toàn chính xác như mong muốn.

Phương pháp có thể mở rộng cho phép giải một số phương trình vi phân đồng thời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phân như một phương trình vi phân đơn giản. Vì vậy, thay thế giá trị cho tất cả các biến phụ thuộc vào trong mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá đạo hàm tại (xn+1, yn+1).

2.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO.

Trong kỹ thuật trước đây mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng có thể áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Ví dụ, cho phương trình vi phân bậc hai.

$a\frac{d^{2}y}{{\text{dx}}^2}+b\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+\text{cy}=0$

Với điều kiện ban đầu x0, y0, và $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}{\mid }_0$ thì phương trình có thể được viết lại như hai phương trình vi phân bậc nhất.

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=y\text{'}$

$\frac{d^{2}y}{{\text{dx}}^2}=\frac{\text{dy}\text{'}}{\text{dx}}=-\frac{\text{by}\text{'}+\text{cy}}{a}$

Một trong những phương pháp mô tả trước đây có thể là việc làm đi tìm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc nhất đồng thời.

Theo cách tương tự, một vài phương trình hay hệ phương trình bậc cao có thể quy về hệ phương trình vi phân bậc nhất.

2.4. VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ.

Giải phương trình vi phân sẽ minh họa bằng sự tính toán dòng điện cho mạch RL nối tiếp.

e(t)LRt = 0i(t)Hình 2.4: Sự biểu diễn của mạch điện RLCho mạch điện RL trong hình 2.4 sức điện động hiệu dụng khi đóng khóa là:

e(t) = 5t 0  t  0,2

e(t) = 1 t>0,2

Điện trở cho theo đơn vị ohms là.

R = 1+3i2

Và điện cảm theo đơn vị henrys là.

L = 1

Tìm dòng điện trong mạch điện theo các phương pháp sau:

1. Euler’s
2. Biến đổi Euler.
3. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta
4. Milne’s
5. Picard’s

Bài giải:

Phương trình vi phân của mạch điện là.

$L\frac{\text{di}}{\text{dt}}+\text{Ri}=e(t)$

Thay thế cho R và L ta có:

$\frac{\text{di}}{\text{dt}}+(1+{\mathrm{3i}}^2)i=e(t)$

Điều kiện ban đầu tại t = 0 thì e0 = 0 và i0 = 0. Khoảng chọn cho biến độc lập là:

t = 0,025.

a. Phương trình theo phương pháp Euler là.

${\mathrm{\Delta i}}_n=\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n\mathrm{\Delta t}$

in+1 = in +in

Với $\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n=e_n-(1+{\mathrm{3i}}_n^2)i_n$

Thay thế giá trị ban đầu vào trong phương trình vi phân, $\frac{\text{dy}}{\text{dt}}{\mid }_0=0$ và i0. Vì thế, dòng điện i1 = 0. Tại t1 = 0,025; e1 = 0,125 và $\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_1=\mathrm{0,}\text{125}-\{1+3(0{)}^2\}0=\mathrm{0,}\text{125}$

i1 = (0,125)0,025 = 0,00313

Thì

i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313

Lập bảng kê kết quả lời giải đưa vào trong bảng 2.1

Bảng 2.1: Giải bằng phương pháp Euler

b. Phương trình của phương pháp biến đổi Euler là.

${\mathrm{\Delta i}}_n^{(0)}=\frac{\text{di}}{\text{dt}}{\mid }_n\mathrm{\Delta t}$

$i_{n+1}^{(0)}=i_n+{\mathrm{\Delta i}}_n^{(0)}$