0.2 Bài toán đối ngẫu  (Page 2/4)

. Biến của bài toán max có dấu tùy ý thì ràng buộc đối ngẫu trong bài toán min có dấu = .

. Biến của bài toán max có dấu £ 0 thì ràng buộc trong bài toán đối ngẫu min có dấu £ ( cùng chiều )

Xét các ràng buộc dạng ma trận của một bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát như sau :

Ký hiệu :

$a_i^T$ là dòng thứ i(i=1,2,...,m)

Aj là cột thứ j(j=1,2,...,n)

Khi đó, mối liên hệ giữa hai bài toán đối ngẫu có thể được trình bày như sau :

Ví dụ

a- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

(P)

$\begin{array}{}\text{min}\text{w}(y)={\text{4y}}_1+{\mathrm{6y}}_2\\ {\text{2y}}_1+{\mathrm{2y}}_2\ge \text{30}\\ y_1+{\mathrm{2y}}_2\ge \text{10}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{y}_1,y_2\ge 0\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ (D)

b- Hai bài toán sau đây là đối ngẫu :

(D)

(P)

Ðối với cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau :

- Cả hai bài toán đều không có phương án tối ưu .

- Cả hai bài toán đều có phương án, lúc đó chúng đều có phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu đối với hai phương án tối ưu là bằng nhau.

- Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia thì có phương án, khi đó bài toán có phương án không có phương án tối ưu.

Các định lý về sự đối ngẫu

a- Định lý 1 ( đối ngẫu yếu )

Xét hai bài toán đối ngẫu :

$\begin{array}{}(P)\\ \text{max z}(x)=c^T\text{x}\\ \text{Ax}=\text{b}\\ x\ge \text{0}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{}(D)\\ \text{min w}(y)={\text{b}}^T\text{y}\\ A^{T}y\ge \text{c}\\ \text{y tùy ý}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$

Nếu $\overline{x}$ là phương án của bài toán (P)

$\overline{y}$ là phương án của bài toán (D)

thì

nghĩa là giá trị hàm mục tiêu của bài toán max không vượt quá giá trị hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu min trên các phương án bất kỳ của mỗi bài toán .

Chứng minh

$\overline{x}$ là phương án của (P) nên : $A\overline{x}=b$

Þ ${\overline{y}}^{T}A\overline{x}={\overline{y}}^T\text{b}=b^T\overline{y}=w(\overline{y})$

$\overline{y}$ là phương án của (D) nên : $A^T\overline{y}\ge c$

Þ ${\overline{y}}^{T}A\ge c^T$

Þ ${\overline{y}}^{T}A\overline{x}\ge c^T\overline{x}=z(\overline{x})$

Vậy

Định lý này được phát biểu và chứng minh cho hai bài toán đối ngẫu trong trường hợp tổng quát .

b- Định lý 2

Xét hai bài toán đối ngẫu :

$\begin{array}{}(P)\\ \text{max z}(x)=c^{T}x\\ \text{Ax}=\text{b}\\ x\ge \text{0}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{}(D)\\ \text{min w}(y)={\text{b}}^{T}y\\ A^{T}y\ge \text{c}\\ \text{y tùy ý}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$

$\overline{x}$ là phương án khả thi của bài toán (P)

$\overline{y}$ là phương án khả thi của bài toán (D)

Nếu $z(\overline{x})=w(\overline{y})$ thì $\overline{x}$ , $\overline{y}$ lần lượt là phương án tối ưu tương ứng của (P và (D).

Chúng minh

- Nếu $\overline{x}$ không là phương án tối ưu của bài toán (P) thì tồn tại một phương án x sao cho :

Þ : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

- Nếu $\overline{y}$ không là phương án tối ưu của bài toán (D) thì tồn tại một phương án y sao cho :

Þ : điều này mâu thuẩn với định lý 1.

Vậy $\overline{x}$ và $\overline{y}$ lần lượt là phương án tối ưu của (P) và (D).

c- Định lý 3

Xét hai bài toán đối ngẫu :

$\begin{array}{}(P)\\ \text{max z}(x)=c^T\text{x}\\ \text{Ax}=\text{b}\\ x\ge \text{0}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{}(D)\\ \text{min w}(y)={\text{b}}^{T}y\\ A^{T}y\ge \text{c}\\ \text{y tùy ý}\\ \\ \begin{array}{}\{\{\end{array}\end{array}$

Nếu x* là phương án tối ưu của bài toán (P) đối với cơ sở B thì phương án tối ưu y* của bài toán (D) được tính bởi công thức :

$\begin{array}{}y\ast \\ \\ T=c_B^T{B}^{-1}\\ \\ \end{array}$

Chứng minh

Do x* là phương án tối ưu của (P) với cơ sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu