La transformada de laplace

La transformada de Laplace es una generalización de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo . Sin embargo, en lugar de usar funciones senosoidales complejas de la forma $e^{i\omega t}$ , como lo hace la CTFT, la transformada de laplace utiliza una forma más generalizada, $e^{st}$ , donde $s=\sigma +i\omega$ .

Aunque las transformadas de Laplace rara vez se resuelven mediante integración (si no por medio de tabla y uso de computadoras ( por ejemplo Matlab) es más comun), aquí veremos los pares bilaterales de la transformada de Laplace . Esto define la transformada de Laplace y su inversa. Notese las similitudes entre la transformada de Laplace y su inversa. Esto nos dara como resultado muchas de las simetrias encontradas en el análisis de Fourier.

Encontrando la transformada de laplace y su inversa

Resolviendo la integral

Probablemente el método más difícil y menos usado para encontrar la Transformada de Laplace es resolviendo la integral. Aunque es técnicamente posible es extremadamente consumidor de tiempo. Dada la facilidad de los siguientes dos métodos para encontrarla, no se vera de otra manera. Las integrales estan primordialmente para entender de donde se originan los siguientes métodos.

Usando una computadora

El uso de una computadora para encontrar la transformada de Laplace es relativamente sencillo. Matlab tiene dos funciones, laplace e ilaplace , las dos forman parte de las librerias simbolicas, y encontraremos la transformada de Laplace y su inversa respectivamente. Este método es preferido generalmente para funciones más complicadas. Funciones más sencillas e ideales usualmente se encuetran más facil mediante el uso de tablas .

Usando tablas

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas es la forma más comun para encontrarla. Con suficiente práctica las tablas se hacen inecesarias. Para el proposito de sta sección, nos enfocaremos en la transformada inversa de Laplace, dado que la gran parte del diseño de aplicaciones empieza en el dominio de Laplace y dan como resultado una solución en el dominio del tiempo. El método es el siguiente:

• Se escribe la función que se desea transformar $H(s)$ , como la suma de otras funciones $H(s)=\sum_{i=1}^m H_i(s)$ donde cada una de las $H_i$ se encuentra en la tabla .
• Invertir cada $H_i(s)$ para obtener su $h_i(t)$ .
• Se suma cada $h_i(t)$ para obtener $h(t)=\sum_{i=1}^m h_i(t)$

Para ejemplos más complicados, seriá más difícil descomponer la función de transferencia en partes que se encuentren en la tabla. En este caso, es necesario el uso de expansión en fracciones parciales para obtener la función de transferencia en una forma más útil.

Visualizando la transformada de laplace

Con la transfromada de Fourier, tenemos una función de valores complejos de variables puramente imaginarias $F(i\omega )$ . Esto es algo que se podría visualizar mediante gráficas en 2-dimensiones (parte real e imaginaria o magnitud y fase). Sin emabrgo, con Laplace tenemos una función de valores complejos de una variable compleja . Para examinar la magnitud y la fase o la parte real e imaginaria de esta función, debemos examinar la gráfica de superficie en 3-dimensiones de cada componente.

Mientras que estas son maneras legitimas de ver una señal en el dominio de Laplace, es algo difícil dibujarlas y analizarlas. Por esta razon, un método más sencillo ha sido desarrollado;que aquí no será discutido a detalle, el métode de Polos y Ceros donde es mucho más sencillo de entender la Transformada de Laplace y su contraparte discreta en el tiempo la Transformada Z y son representadas gráficamente.