Esto implica que al sumar todas las repeticiones de P(f) cada f
b estas deben sumar una constante
El pulso resultante tiene simetría vestigial
Este filtro puede representarse como la suma de:
Matemáticamente:
P
(
f
)
=
∏
f
f
b
+
H
1
(
f
)
p
(
t
)
=
1
t
b
Sinc
t
t
b
+
h
1
(
t
)
alignl { stack {
size 12{P \( f \) = Prod { left ( { {f} over {f rSub { size 8{b} } } } right )} +H rSub { size 8{1} } \( f \) } {} #p \( t \) = { {1} over {t rSub { size 8{b} } } } ital "Sinc" left ( { {t} over {t rSub { size 8{b} } } } right )+h rSub { size 8{1} } \( t \) {}
} } {}
H
1 (f) es simétrica y par.
h
1
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
H
1
(
f
)
e
jωt
df
=
2
∫
0
∞
H
1
(
f
)
Cos
(
ωt
)
df
h
1
(
t
)
=
2
∫
−
β
H
1
(
f
)
Cos
(
ωt
)
df
+
2
∫
+
β
H
1
(
f
)
Cos
(
ωt
)
df
c
.
d
.
v
:
{
Para
la
primera
Integral
:
f
=
−
x
Para
la
segunda
Integral
:
f
=
+
x
Entonces
:
h
1
(
t
)
=
2
∫
0
β
H
1
fb
2
−
x
Cos
(
2π
(
fb
2
−
x
)
)
tdx
+
2
∫
0
β
H
1
fb
2
+
x
Cos
(
2π
(
fb
2
+
x
)
)
tdx
Por
simetría
:
H
1
(
fb
2
+
x
)
=
−
H
1
(
fb
2
−
x
)
h
1
(
t
)
=
2
∫
0
β
H
1
fb
2
+
x
Cos
2πt
(
fb
2
+
x
)
−
Cos
2πt
(
fb
2
−
x
)
dx
h
1
(
t
)
=
−
4
∫
0
β
H
1
fb
2
+
x
Sen
πf
b
t
.
Sen
(
2π
xt
)
dx
h
1
(
t
)
=
−
4
Sen
πf
b
t
∫
0
β
H
1
fb
2
+
x
Sen
(
2π
xt
)
dx
alignl { stack {
size 12{h rSub { size 8{1} } \( t \) = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) e rSup { size 8{jωt} } ital "df"=2} Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{ infinity } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} } {} #h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} - β} } cSup { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} } } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} +2 Int cSub { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} } } cSup { size 8{ { ital "fb"} wideslash {2} +β} } {H rSub { size 8{1} } \( f \) ital "Cos" \( ωt \) ital "df"} {} #
matrix {{} # {} # {} # matrix {
{} # {} # c "." d "." v: left lbrace matrix {matrix {
ital "Para"` ital "la"` ital "primera"` ital "Integral": {} # f= { ital "fb"} wideslash {2} - x {} # {}} {} ##
{} ##matrix {
ital "Para"` ital "la"` ital "segunda"` ital "Integral": {} # f= { ital "fb"} wideslash {2} +x {} # {}} {}
} right none {}} {}
} {} #ital "Entonces": {} #
h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } - x right ) ital "Cos" \( 2π \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) \) ital "tdx"} +2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) ital "Cos" \( 2π \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) \) ital "tdx"} {} #{} #
matrix {matrix {
matrix {{} # {}
} {} # {}} {} # ital "Por"` ital "simetría": {} # {} # H rSub { size 8{1} } \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) {}
} = - H rSub { size 8{1} } \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) {} #{} #
h rSub { size 8{1} } \( t \) =2 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) left [ ital "Cos" left (2πt \( { { ital "fb"} over {2} } +x \) right ) - ital "Cos" left (2πt \( { { ital "fb"} over {2} } - x \) right ) right ]ital "dx"} {} #
{} #h rSub { size 8{1} } \( t \) = - 4 Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) left [ ital "Sen" left (πf rSub { size 8{b} } t right ) "." ital "Sen" \( 2π ital "xt" \) right ] ital "dx" {} #{} #
h rSub { size 8{1} } \( t \) = - 4 ital "Sen" left (πf rSub { size 8{b} } t right ) Int cSub { size 8{0} } cSup { size 8{β} } {H rSub { size 8{1} } } left ( { { ital "fb"} over {2} } +x right ) ital "Sen" \( 2π ital "xt" \) ital "dx" {}} } {}
Para cada
ntb el término que se encuentra fuera de la integral se anulará. De esta forma, se evita la interferencia.
A partir de este criterio podemos implementar el filtro de simetría vestigial de tipo
Coseno Alzado : Este se caracteriza porque puede reducir la ISI. La parte no nula del espectro es un coseno que, en su forma más simple, está alzado (es decir, se encuentra por encima del eje de frecuencia):
Representación del pulso en los dominios de frecuencia y tiempo.
Segundo criterio de nyquist
En este criterio se busca no sólo eliminar la interferencia, también se presenta como objetivo el disminuir el ancho de banda. Esto se hace definiendo, en el transmisor, una interacción conocida entre pulsos vecinos. El sacrificio, en este caso, es un mayor consumo de potencia.
Entonces, en vez de transmitir a
k (secuencia original), se enviará y
k =a
k +a
k-1 . De esta forma se pueden enviar dos bits haciendo uso del mismo ancho de banda. Supongamos el siguiente ejemplo:
Secuencia original de bits:
01010011
Secuencia original
0
1
0
1
0
0
1
1
ak
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
yk
0
0
0
0
-2
0
2
El filtro que se coloca en el transmisor pudiera modelarse como:
Teniendo considerada la condición de un sistema con interferencia, ahora se debe tomar en cuenta cuando se introduce ruido AWGN al canal. Supongamos que a la entrada de un sistema de comunicaciones se tiene una secuencia aleatoria, con código de línea NRZ y duración tb. La Densidad Espectral de Potencia sería:
G
(
f
)
=
∣
P
(
f
)
∣
2
tb
;
P
(
f
)
→
Transformada
de
Fourier
de
la
señal
de
entrada
.
alignl { stack {
size 12{G \( f \) = { { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { ital "tb"} } ;} {} #P \( f \) rightarrow ital "Transformada"` ital "de"` ital "Fourier"` ital "de"` ital "la"` ital "señal"` ital "de"` ital "entrada" "." {}
} } {}
Asumiendo un sistema como sigue:
La salida del sistema sería una sucesión de pulsos y(t), asociada a un pulso de salida p
R (t) y a los de entrada:
A
k
∣
P
R
(
f
)
∣
=
∣
P
(
f
)
∣
.
∣
H
T
(
f
)
∣
.
∣
H
c
(
f
)
∣
.
∣
H
R
(
f
)
∣
→
Ecuación
(
1
)
Si
la
potencia
de
transmisión
es
:
S
T
=
∫
−
∞
∞
∣
P
(
f
)
∣
2
∣
H
T
(
f
)
∣
2
tb
df
Pudiéramos
Expresarla
en
función
de
la
ecuación
(
1
)
:
tb
.
S
T
=
A
k
2
∫
−
∞
∞
∣
P
R
(
f
)
∣
2
∣
H
c
(
f
)
∣
.
∣
H
R
(
f
)
∣
df
alignl { stack {
size 12{A rSub { size 8{k} } lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline = lline P \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline ~ rightarrow ` ital "Ecuación"` \( 1 \) } {} #{} #
ital "Si"` ital "la"` ital "potencia"` ital "de"` ital "transmisión"` ital "es": {} #S rSub { size 8{T} } = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { ital "tb"} } } ital "df" {} #
ital "Pudiéramos"` ital "Expresarla"` ital "en"` ital "función"` ital "de"` ital "la"` ital "ecuación"` \( 1 \) : {} #{} #
matrix {{} # {} # {}
} ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } =A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df" {}} } {}
Ahora bien, como nuestro objetivo es maximizar la relación señal a ruido, despejamos el valor de Ak (Amplitud del pulso) y definimos σ² (que debe ser minimizado):
A
k
2
=
tb
.
S
T
∫
−
∞
∞
∣
P
R
(
f
)
∣
2
∣
H
c
(
f
)
∣
.
∣
H
R
(
f
)
∣
df
y
σ
2
=
∫
−
∞
∞
Gn
(
f
)
∣
H
R
(
f
)
∣
2
df
Por
lo
que
:
A
k
2
σ
2
=
tb
.
S
T
∫
−
∞
∞
Gn
(
f
)
∣
H
R
(
f
)
∣
2
df
.
∫
−
∞
∞
∣
P
R
(
f
)
∣
2
∣
H
c
(
f
)
∣
.
∣
H
R
(
f
)
∣
df
→
Minimizar
alignl { stack {
size 12{A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } = { { ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } } over { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df"} } } {} #y {} #
σ rSup { size 8{2} } = Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { ital "Gn" \( f \) } lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df" {} #ital "Por"` ital "lo"` ital "que": {} #
{} #{ {A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { { ital "tb" "." S rSub { size 8{T} } } over { Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { ital "Gn" \( f \) } lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df" "." Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } over { lline H rSub { size 8{c} } \( f \) rline "." lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } } ital "df"} } matrix {
{} ##{} ##
rightarrow ` ital "Minimizar"} {}
} } {}
A través de la igualdad de Schwartz podemos cumplir el objetivo:
∣
∫
−
∞
∞
V
(
f
)
.
W
(
f
)
df
∣
≤
∫
−
∞
∞
∣
V
(
f
)
∣
2
.
df
.
∫
−
∞
∞
∣
W
(
f
)
∣
2
.
df
Que
será
igual
cuando
V
(
f
)
=
k
.
W
(
f
)
.
Si
:
W
(
f
)
=
∣
P
R
(
f
)
∣
∣
H
C
(
f
)
∣
∣
H
R
(
f
)
∣
y
V
(
f
)
=
∣
H
R
(
f
)
∣
Gn
(
f
)
Entonces
:
∣
H
R
(
f
)
∣
Gn
(
f
)
=
k
∣
P
R
(
f
)
∣
∣
H
C
(
f
)
∣
∣
H
R
(
f
)
∣
∣
H
R
(
f
)
∣
2
=
k
∣
P
R
(
f
)
∣
∣
H
C
(
f
)
∣
Gn
(
f
)
alignl { stack {
size 12{ lline Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {V \( f \) "." W rSup { size 8{*} } \( f \) ital "df"} rline<= Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline V \( f \) rline rSup { size 8{2} } "." ital "df"} "." Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } { lline W \( f \) rline rSup { size 8{2} } "." ital "df"} } {} #
{} #ital "Que"` ital "será"` ital "igual"` ital "cuando"`V \( f \) =k "." W \( f \) "." ` ital "Si": {} #
{} #W \( f \) = { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } ~y~V \( f \) = lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } {} #
{} #ital "Entonces": {} #
{} #lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } =k left [ { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline } } right ] {} #{} #
matrix {{} # {} # lline H rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } =k left [ { { lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline } over { lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } } } right ]{}} {}
} } {}
Finalmente, con la ecuación (1) tenemos que:
∣
H
T
(
f
)
∣
2
=
A
k
2
∣
P
R
(
f
)
∣
Gn
(
f
)
k
∣
H
C
(
f
)
∣
∣
P
R
(
f
)
∣
2
size 12{ lline H rSub { size 8{T} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } = { {A rSub { size 8{k} rSup { size 8{2} } } lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline sqrt { ital "Gn" \( f \) } } over {k lline H rSub { size 8{C} } \( f \) rline lline P rSub { size 8{R} } \( f \) rline rSup { size 8{2} } } } } {}
Simulaciones en labview
El VI correspondiente a la teoría de este módulo puede descargarse a través del siguiente enlace:
