0.1 Phân tích tín hiệu  (Page 7/7)

S(f - f0 )  ej2fo s(t)(2.50)

Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

s(t) =

Giải:

s(t) này giống như s(t) ở ví dụ 4 ( với A =  = 1), trừ việc nhân với thừa số ej2t .

Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số.

Như vậy, ta lấy biến đổi trong ví dụ 4 và thay thế f - 1 cho f.

S(f) =

S(f)f0.51.51Hình 2.19 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Sự tuyến tính.

Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourrier.

Biến đổi Fourrier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourrier tương ứng.

as1(t) + bs2(t)  aS1(f) + bS2(f)(2.51)

Trong đó a, b là những hằng bất kỳ.

Có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourrier và từ tính chất của tuyến tính của thuật toán tích phân.

= aS1(f) + bS2(f)

Ví dụ 12: Tìm biến đổi Fourrier của s(t).

s(t) =

Hình 2.20 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).

Giải:

Ta dùng tính chất tuyến tính và thấy rằng s(t) là tổng của hàm trong ví dụ 4 với hàm trong ví dụ 11.

Vậy, biến đổi F cho bởi tổng của hai biến đổi.

S(f) =

Vì hàm được cho sẽ chẳn nếu bị dời về trái 0,5 sec, ta có thể viết lại.

S(f) =

Định lý về sự biến điệu

Định lý này kết hợp chặt chẻ với định lý về sự dời tần.

Cho một hàm s(t) và biến đổi Fourrier của nó. Hàm s(t) nhân với một sóng cosin:

s(t) cos2fot

Trong đó, f0 là tần số của cosin.

Biến đổi Fourrier của dạng sóng này cho bởi:

F [s(t) cos2f0t ] = $\frac{1}{2}S(f-f_0)+\frac{1}{2}S(f+f_0)$ (2.52)

Kết quả của sự nhân một hàm theo t với một hàm sin thuần túy là làm dời biến đổi gốc, cả chiều lên và chiều xuống, bởi tần số của hàm sin. ( Và cắt biên độ còn phân nữa).

Ta có thể chứng minh trực tiếp từ định lý dời tần. Phân cos2f0t thành 2 thành phần expo và áp định lý dời tần cho ta thấy rằng biến đổi F của một hàm tuần hoàn theo t là một đoàn xung lực cách đều nhau. Mỗi xung lực có độ lớn ( Strength ) bằng với hệ số Cn tương ứng.

Ví dụ 12: Tìm biến đổi F của hàm tuần hoàn tạo bởi các xung lực đơn vị như hình vẽ. Hàm cho bởi:

s(t) =

T2T3T-Ts(t)tHình 2.21 Hàm tuần hoàn s(t).

Giải:

Biến đổi F cho bởi phương trình (2.53)

S(f) =

Trong đó:

f0 =

Cn =

Trong khoảng của tích phân, sự phân bố của s(t) chỉ do xung lực tại gốc. Vậy:

Cn =

Cuối cùng, biến đổi F của đoàn xung lực là:

S(f) =

Trong đó f0 =

Mỗi thành phần:

s(t) cos2f0t =

Các hàm tuần hoàn

Ở ví dụ 6, ta đã thấy biến đổi F của 1 hàm cosin (f0) và tại trị âm của tần số này (-f0). Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng biến đổi F của một hàm bất kỳ là một hàm rời rạc của tần số. Đó là biến đổi thì khác zero chỉ tại những điểm rời rạc dọc theo trục f.

Cách chứng minh dựa vào sự khai triển chuỗi F và sự tuyến tính của phép biến đổi F.

Giả sử ta phải tìm biến đổi F của một hàm tuần hoàn s(t), với chu kỳ T. Ta có thể viết hàm s(t) theo cách biểu diễn chuỗi F phức.

s(t) =

Trong đó f0 =

Ta lập một cặp biến đổi:

Aej2fot  A (f - f0­)

Từ cặp này và tính tuyến tính của phép biến đổi F, ta có:

F [s(t) ] = $\sum _{n\text{=-¥}}^{\yen }{C}_n$ F [ejn2fot]

(2.53)

s(f)fC4C2C0C-2f02f04f0-f0Biến đổi này được vẽ như hình dưới đây. Nhớ là Cn là số phức, vậy hình vẽ chỉ có chủ đích trình bày khái niệm. Nếu hàm s(t) thực và chẳn, Cn sẽ thực.

Hình 2.22 Biến đổi Fourier của hàm tuần hoàn s(t).