0.9 Основни теореми на диференцијалното сметање

Основни теореми на диференцијалното сметање

Ќе наведеме неколку теореми за диференцијабилните функции кои имаат многу важна улога во нивното испитување. Овие теореми се користат за испитување на текот (растењето и опаѓањето) на функциите и за испитување на нивните локални екстреми и затоа се нарекуваат основни теореми на диференцијалното сметање.

Првата теорема која следи е Теоремата на Дарбу. Оваа теорема искажува важна особина на изводот $f^{\text{'}}(x)$ кој се смета за функција.

Теорема на Дарбу (darboux, 1842-1917)

Ако функцијата $f(x)$ има конечен извод на интервалот $[a,b]$ , тогаш изводот $f^{\text{'}}(x)$ не може од вредноста $f^{\text{'}}(a)$ да премине на вредноста $f^{\text{'}}(b)$ , а да не ги прими сите вредности меѓу $f^{\text{'}}(a)$ и $f^{\text{'}}(b)$ .

Ќе ги дефинираме поимите за локален минимум и локален максимум.

Дефиниција за локален максимум

Точката $x=x_0$ се нарекува точка на локален максимум ако постои околина на таа точка $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ),\epsilon >\mathrm{0,}$ во која вредноста на функцијата $f(x_0)-f(x)\ge 0$ за $x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ .

Дефиниција за локален минимум

Точката $x=x_0$ се нарекува точка на локален минимум ако постои околина на таа точка $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ),\epsilon >\mathrm{0,}$ во која вредноста на функцијата за $x\in (x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ .

Теорема на Ферма (Fermat, 1601,1665)

Ако функцијата $y=f(x)$ е непрекината на $[a,b]$ и диференцијабилна на $(a,b)$ и ако таа има локален екстрем во точката $x_0\in (a,b)$ , тогаш $f^{\text{'}}(x_0)=0$ .

Доказ . За да ја докажеме точноста на теоремата на Ферма, се испитува закот на првиот извод на функцијата $f(x)$ во околина на локалениот екстрем.

Нека на пример во точката $x_0$ функцијата $f(x)$ има локален минумум, тогаш на интервал лево од таа точка $x\in (x_0-\epsilon ,x_0)$ за $\epsilon >0$ ќе важи

,

односно ќе важат неравенствата

$f(x_0-\epsilon )-f(x_0)\ge 0$ и $\epsilon >0$ .

Ако се формира количникот од овие две неравенста и пресмета знакот на количникот се добива

$\frac{f(x_0-\epsilon )-f(x_0)}{\epsilon }\ge 0$ или ,

па и гранична вредност ќе ги има истиот знак со количникот

,

што од дефиницијата за извод означува дека на овој интервал , т.е. лево од точката на локален минимум функцијата опаѓа.

Сега ќе го испитаме знакот на првиот извод на функција на интервал десно од точката на локален минимум. На интервалот $x\in (x_0,x_0+\epsilon )$ исто така

,

односно за

$\epsilon >0\Rightarrow f(x_0+\epsilon )\ge f(x_0)$

и граничната вредност

$\underset{\epsilon \to 0}{\text{lim}}\frac{f(x_0+\epsilon )-f(x_0)}{\epsilon }\ge 0$ ,

па затоа на овој интервал $f^{\text{'}}(x)\ge 0$ , т.е. десно од точката на локален минимум функцијата расте.

Изводот во точката $x=x_0$ мора да биде $f^{\text{'}}(x_0)=0$ , бидејќи изводот за да премине од негативна во позитивна вредност мора да ја достигне нулата (Теорема на Дарбу).

Дефиниција за стационарна точка

Точките за кои $f^{\text{'}}(x)=0$ се нарекуваат стационарни точки .

Геометриската интерпретација на Теоремата на Ферма е ако функцијата има локален екстрем во точка во која таа е диференцијабилна, таа точка е стационарна и тангентата во таа точка е паралелна со $x-$ оската (Сл. 3).

Условот $f^{\text{'}}(x)=0$ е потребен за локален екстрем, што значи ако точката е локален екстерем таа мора да е и стационарна, додека обратното не важи, односно условот не е доволен бидејќи постојат стационарни точки кои не се локален екстрем. Таква е на пример функцијата $y=x^3$ за која првиот извод се анулира во точката $x=0$ , а таа точка не е локален екстрем.

Заклучок : Aко функција има локален минимум во точката $x=x_0$ , во доволно мали интервали лево и десно од таа точка преминува од опаѓачка во растечка функција. Аналогно, ако точката е локален максимум, тогаш во доволно мали интервали лево и десно од таа точка функцијата преминува од растечка во опаѓачка.

Теорема на Рол (Rolle, 1652-1719)

Ако функцијата $f(x)$ е непрекината на $[a,b]$ и диференцијабилна на $(a,b)$ и ако на краевите од интервалот има еднакви вредности $f(a)=f(b)$ , тогаш постои точка , таква што

$f^{\text{'}}(x_0)=0$ .

Теоремата на Рол искажува дека ако на краевите од еден интервал вредностите на непрекинатата функцијата се еднакви, тогаш на тој интервал функцијата мора да има барем еден локален екстрем во кој тангентата ќе биде паралелна со $x-$ оската (Сл. 4).

Ако пак функцијата е константна, тогаш нејзиниот график на целиот интервал ке биде паралелен со $x-$ оската.

Нагласено беше дека функцијата на дадениот интервал има барем една точка во која ќе има локален ектрем, што значи дека таа може да има и повеќе од една точка на локален екстрем (Сл. 5).

Теорема на Лагранж (Lagrange, 1736-1813)

Ако функцијата $f(x)$ е непрекината на $[a,b]$ и диференцијабилна на $(a,b)$ , тогаш постои барем една точка , таква што

$f(b)-f(a)=(b-a)f^{\text{'}}(x_0)$ .

Теоремата на Лагранж уште се нарекува и теорема за средна вредност и укажува дека во точката , тангентата на функцијата ќе биде паралелна со правата која ги сврзува точките $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$ кои се на краевите од интервалот (Сл. 6).

Теоремата на Лагранж е поопшта од теоремата на Рол, бидејќи во специјален случај кога $f(a)=f(b)$ , теоремата на Лагранж ја искажува теоремата на Рол.

И во оваа теорема се нагласува дека посто барем една точка, што не значи дека е само една, туку може да постојат повеќе точки за кои ќе важи теоремата (Сл. 7).

Воопштување на теремата на Лагранж е теоремата на Коши која се однесува за две функции.

Теорема на Коши (Cauchy, 1789-1857)

Ако функциите $f(x)$ и $g(x)$ се непрекинати на $[a,b]$ и диференцијабилни на $(a,b)$ и ако за $x\in (a,b)$ , тогаш постои барем една точка , таква што

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{g^{\text{'}}(x_0)}$ .