0.1 Giải thuật đơn hình  (Page 3/7)

. Xác định chỉ số cột pivot s :

${\overline{c}}_s=\text{max}\left\{{\overline{c}}_k>0\in {\overline{c}}_N\right\}$ $=\text{max}\left\{\text{3}\right\}=3={\stackrel{\text{\_\_}}{c}}_2$

Vậy s=2

Ma trận cột s=2 trong ma trận $\overline{N}$ là $\begin{array}{}\text{-}1\\ \text{3}\\ \text{1}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ {\overline{N}}_2=\\ \end{array}$

. Xác định chỉ số dòng pivot r :

$\text{min}\left\{\frac{{\overline{b}}_i}{{\bar{N}}_{\text{is}}}\right\}=\text{min}\left\{\frac{{\overline{b}}_2}{{\overline{N}}_{\text{22}}},\frac{{\overline{b}}_3}{{\overline{N}}_{\text{23}}}\right\}=\text{min}\left\{\frac{3}{3},\frac{5}{1}\right\}=1=\frac{{\overline{b}}_2}{{\bar{N}}_{\text{22}}}$

Vậy r = 2

e- Hoán vị

. Cột thứ s=2 trong ma trận N và cột thứ r=2 trong ma trận B

. Phần tử thứ s=2 trong $c_N^T$ với phần tử thứ r=2 trong $c_B^T$

. Biến thứ s=2 trong $x_N^T$ với biến thứ r=2 trong $x_B^T$

$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& -1& \mid & 1& 0& 0\\ 0& 2& \mid & 1& 1& 0\\ 0& 2& \mid & -1& 0& 1\end{array}\right]\to A=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \mid & 1& -1& 0\\ 0& 1& \mid & 1& 2& 0\\ 0& 0& \mid & -1& 2& 1\end{array}\right]$

$c^T=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& \mid & 2& 0& 0\end{array}\right]\to {\text{c}}^T=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& \mid & 2& 1& 0\end{array}\right]$

$x^T=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_3& x_2& \mid & x_1& x_4& x_5\end{array}\right]\to {\text{x}}^T=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_3& x_4& \mid & x_1& x_2& x_5\end{array}\right]$

f- Quay về bước a

Lần lặp 3

a. Tính ma trận nghịch đảo B-1

$\begin{array}{}\frac{2}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ -\frac{1}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ \frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}\text{1}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ B=\left[\begin{array}{ccc}1& \text{-1}& 0\\ 1& 2& 0\\ -1& 2& 1\end{array}\right]{\text{B}}^{-1}=\\ \end{array}$

b- Tính các tham số

. Phương án cơ sở khả thi tốt hơn :

$\begin{array}{}{x}_1\\ x_2\\ x_5\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \frac{2}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ -\frac{1}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ \frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}\text{1}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ []\\ \\ 3\\ 6\\ 2\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ 4\\ 1\\ 4\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ x_3\\ x_4\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ 0\\ 0\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ []\\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ x_B=\\ \\ \begin{array}{}\end{array}\\ x=\\ \end{array}$

. Giá trị hàm mục tiêu :

$z(x)=c_B^T{x}_B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right]=9$ $$

. Tính ma trận :

$\begin{array}{}\frac{2}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ -\frac{1}{3}\frac{1}{3}\text{0}\\ \frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}\text{1}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \frac{2}{3}\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\frac{1}{3}\\ \frac{4}{3}\text{-}\frac{1}{3}\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\left[\right]\end{array}\\ \stackrel{\text{\_\_}}{N}=B^{-1}N=\\ \end{array}$ $$

c- Xét dấu hiệu tối ưu :

: dừng

Vậy phương án tối ưu sẽ là :

$\begin{array}{}{x}_B=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right]\\ x_N=\left[\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\\ \\ \begin{array}{}\{\end{array}\\ \end{array}$

Giá trị hàm mục tiêu là z(x) = 9 với x1 = 4 và x2 = 1

Chú ý trong trường hợp suy biến

Trong trường hợp bài toán suy biến, nghĩa là ${\overline{b}}_r=0$ , ta có :

${\stackrel{}{x}}_s=\frac{{\overline{b}}_r}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}=0$

cho nên giá trị của hàm mục tiêu không thay đổi khi thay đổi cơ sở, vì :

$z(\stackrel{}{x})=z(x)+{\overline{c}}_s{\stackrel{}{x}}_s=z(x)$

Vậy thì, có thể sau một số lần thay đổi cơ sở lại quay trở về cơ sở đã gặp và lặp như vậy một cách vô hạn. Người ta có nhiều cách để khắc phục hiện tượng này bằng cách xáo trộn một chút các dữ liệu của bài toán, sử dụng thủ tục từ vựng, quy tắc chọn pivot để tránh bị khử.

Giải thuật đơn hình cải tiến

Một cách tính ma trận nghịch đảo

Trong giải thuật đơn hình cơ bản hai ma trận kề B và $\stackrel{}{B}$ chỉ khác nhau một cột vì vậy có thể tính ma trận nghịch đảo ${\stackrel{}{B}}^{-1}$ một cách dễ dàng từ B-1 . Để làm điều đó chỉ cần nhân (bên trái) B-1 với một ma trận đổi cơ sở được xác định như sau :

$\begin{array}{}\mu =\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& \text{.}\text{.}& \frac{-{\overline{a}}_{\text{1s}}}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}& \text{.}\text{.}& 0\\ 0& 1& \text{.}\text{.}& \frac{-{\overline{a}}_{\text{2s}}}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}& \text{.}\text{.}& 0\\ \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}& \frac{1}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}& \text{.}\text{.}& 0\\ \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\\ 0& 0& \text{.}\text{.}& \frac{-{\overline{a}}_{\text{ms}}}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}& \text{.}\text{.}& 1\end{array}\right]\begin{array}{c}\\ \to \text{dòng r}\end{array}\\ \uparrow \text{côt r}\end{array}$

Khi đó :

$\begin{array}{}\stackrel{{\stackrel{ˆ}{}}^{-1}={\mathrm{\mu B}}^{-1}}{B}\\ \end{array}$

Ta thấy rằng ma trận đổi cơ sở  được thiết lập giống như một ma trận đơn vị mxm, trong đó cột r có các thành phần được xác định như sau :

$\frac{-{\overline{a}}_{\text{is}}}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}$ : đối với thành phần i  r.

$\frac{1}{{\overline{a}}_{\text{rs}}}$ : đối với thành phần r .

Khi mà ma trận cở sở xuất phát là ma trận đơn vị, sau một số bước đổi cơ sở B0 B1 B2 ....... Bq tương ứng với các ma trận đổi cơ sở 0 1 2 .…...q-1 người ta có cách tính ma trận nghịch đảo như sau :

${\left[B^q\right]}^{-1}={\mu }^0\text{.}{\mu }^1\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}{\mu }^{q-1}$

Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

Quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là quy hoạch tuyến tính chính tắc mà trong đó có thể rút ra một ma trận cơ sở là ma trận đơn vị. Quy hoạch tuyến tính chuẩn có dạng :

$\begin{array}{}\text{min/max}z(x)=c^{T}x\\ [I\text{N}]x=b\\ x\ge 0\\ \\ \\ \begin{array}{}\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

Giải thuật đơn hình cải tiến

Từ những kết quả trên người ta xây dựng giải thuật đơn hình cải tiến đối với bài toán qui hoạch tuyến tính (max) dạng chuẩn như sau :

a- Khởi tạo

${\overline{A}}_0=A$

${\overline{b}}_0=b$

b- Thực hiện bước lặp với k = 0,1,2, ...

. Xác định phương án cơ sở khả thi :

$\begin{array}{}{x}_{B_k}={\overline{b}}_k\\ x_{N_k}=0\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ x^k=\\ \end{array}$

. Tính giá trị hàm mục tiêu :

$z(x^k)=c_{B_k}^T{x}_{B_k}=c_{B_k}^T{\overline{b}}_k$

. Xét dấu hiệu tối ưu :

${\overline{c}}_k^T=c^T-c_{B_k}^T{\overline{A}}_k$

- Nếu thì giải thuật dừng và :

$\begin{array}{}{x}_{B_k}={\overline{b}}_k\\ x_{N_k}=0\\ \\ \mathrm{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}\left[\right]\end{array}\\ x^k=\\ \end{array}$ là phương án tối ưu

$z(x^k)=c_{B_k}^T{x}_{B_k}=c_{B_k}^T{\overline{b}}_k$ là giá trị hàm mục tiêu