Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng  (Page 3/3)

cij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ... + aiq .bqj

Ví dụ:

$\begin{array}{cc}A\text{.}B& \mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}\end{array}\mid \end{array}$ x $\mid \begin{array}{cc}{b}_{\text{11}}& b_{\text{12}}\\ b_{\text{21}}& b_{\text{22}}\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}\text{.}{b}_{\text{11}}+a_{\text{12}}\text{.}{b}_{\text{21}}& a_{\text{11}}\text{.}{b}_{\text{12}}+a_{\text{12}}\text{.}{b}_{\text{22}}\\ a_{\text{21}}\text{.}{b}_{\text{11}}+a_{\text{22}}\text{.}{b}_{\text{21}}& a_{\text{11}}\text{.}{b}_{\text{12}}+a_{\text{12}}\text{.}{b}_{\text{22}}\\ a_{\text{31}}\text{.}{b}_{\text{11}}+a_{\text{32}}\text{.}{b}_{\text{21}}& a_{\text{11}}\text{.}{b}_{\text{12}}+a_{\text{12}}\text{.}{b}_{\text{22}}\end{array}\mid$

Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B B.A

Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng:

A (B + C) = A.B + A.C.

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C.

Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0.

Tích C.A = C.B khi A = B.

Nếu C = A.B thì CT = BT.AT

Nghịch đảo ma trận:

Cho hệ phương trình:

a11x1 + a12­x2 + a13x3 = y1

a21x1 + a22­x2 + a23x3 = y2 (1.2)

a31x1 + a32­x2 + a33x3 = y3

Viết dưới dạng ma trận A.X = Y

Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A.

Do đó: X = B.Y (1.3)

Nếu định thức của ma trận A 0 thì có thể xác định xi như sau:

$x_1=\frac{A_{\text{11}}}{\mid A\mid }{y}_1+\frac{A_{\text{21}}}{\mid A\mid }{y}_2+\frac{A_{\text{31}}}{\mid A\mid }{y}_3$

$x_2=\frac{A_{\text{12}}}{\mid A\mid }{y}_1+\frac{A_{\text{22}}}{\mid A\mid }{y}_2+\frac{A_{\text{32}}}{\mid A\mid }{y}_3$

$x_3=\frac{A_{\text{13}}}{\mid A\mid }{y}_1+\frac{A_{\text{23}}}{\mid A\mid }{y}_2+\frac{A_{\text{33}}}{\mid A\mid }{y}_3$

Trong đó: A11, A12, .... A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận A. Ta có:

$B_{ij}=\frac{A_{\mathrm{ij}}}{\mid A\mid }$ i, j = 1, 2, 3.

Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U

Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1.

A.X = Y

A-1.A.X = A-1 .Y

U.X = A-1.Y

Suy ra: X = A-1 .Y

Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến).

Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất.

Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó:

(A.B)-1 = B-1.A-1

Nếu AT khả đảo thì (AT)-1 cũng khả đảo:

(At)-1 = (A-1)t

Ma trận phân chia:

AA1A3A2A4=

Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ tương ứng.

A1A3A2A4B1B3B2B4A1B1A3B3A2B3A4B3=

Phép nhân được biểu diễn như sau:

A1A3A2A4B1B3B2B4C1C3C2C4=

Trong đó:

C1 = A1.B1 + A2.B3

C2 = A1.B2 + A2.B4

C3 = A3.B1 + A4.B3

C4 = A3.B2 + A4.B4

Tách ma trận chuyển vị như sau:

AA1A3A2A4=ATAT1AT3AT2AT4=

Tách ma trận nghịch đảo như sau:

AA1A3A2A4=A-1B1B3B2B4=

Trong đó:

B1 = (A1 - A2.A4-1.A3)-1

B2 = -B1.A2.A4-1

B3 = -A4-1.A3.B1

B4 = A4-1 - A4-1.A3.B2

(với A1 và A4 phải là các ma trận vuông).

Sự phụ thuộc tuyến tính và hạng của ma trận:

Sự phụ thuộc tuyến tính:

Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng.

{c1}{c1} ..... {c1}

{r1}{r1} ...... {r1}

Phương trình vectơ cột thuần nhất.

p1{c1} + p2{c2} + .... + pn{cn} = 0 (1.4)

Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, ...., n).

Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu.

qr = 0 (r = 1, 2, ..., n).

q1{r1} + q2{r2} + ...... + qn{rn} = 0 (1.5)

Nếu pk 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính.

Nếu qr 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính.

Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0.

Hạng của ma trận:

Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0.

0  r(A)  min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n.

Hệ phương trình tuyến tính:

Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết:

a11x1 + a12­x2 + .... + a1nxn = y1

a21x1 + a22­x2 + .... + a2nxn = y2

.......................................... (1.6)

am1x1 + am2­x2 + .... + amnxn = ym

Trong đó:

ai j: Là hệ số thực hoặc phức ; xj: Là biến số ; yj: Là hằng số của hệ.

Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau:

A. X = Y (1.7)

Ma trận mở rộng:

$\hat{A}=\mid \begin{array}{ccccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1n}}& y_1\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2n}}& y_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{\mathrm{m1}}& a_{\mathrm{m2}}& \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}& y_m\end{array}\mid$

Nếu yi = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0.

Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ yi 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất.

Định lý:

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng.

Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của ma trận mở rộng.

Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có nghiệm duy nhất (hệ xác định).

Nếu r(A) = r(Â) = r<n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý.