Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính  (Page 3/8)

- c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c)

- b là vectơ giới hạn các ràng buộc.

Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm.

$\begin{array}{}\text{min/max}z=\sum _{j=1}^n{c}_j{x}_j(I)\\ \sum _{j=1}^n{a}_{\text{ij}}{x}_j=b_i(i=\text{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{,m})(\text{II})\\ x_j\ge 0(j=\text{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}\text{,n})(\text{III})\\ \\ \\ \begin{array}{}\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ ( m n )

$\begin{array}{}\text{min/max}z(x)=c^{T}x(I)\\ \text{Ax}=b(\text{II})\\ x\ge 0(\text{III})\\ \\ \\ \begin{array}{}\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ rang(A)=m

Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây :

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng  thì người ta cộng thêm vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i  0 để được dấu = .

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng  thì người ta trừ vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i  0 để được dấu = .

Các biến phụ chỉ là những đại lượng giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó phải không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên không xuất hiện trong hàm mục tiêu.

- Nếu biến xj  0 thì ta đặt xj = -x’j với x’j  0 rồi thay vào bài toán.

- Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt  $x_j=x_j^{\text{'}}-x_j^{\text{'}\text{'}}$ với ${x_j^{\text{'}}\text{, {}x}_j^{\text{'}\text{'}}$ đều  0 rồi thay vào bài toán.

- Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm.

Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = , vế phải và các biến số đều không âm.

Ví dụ :

Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây về dạng chính tắc :

Bằng các thay thế :

$\begin{array}{}{x}_4=-x_4^{\text{'}}(x_4^{\text{'}}\ge 0)\\ x_2=x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}}(x_2^{\text{'}},x_2^{\text{'}\text{'}}\ge 0)\\ x_3=x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}}(x_3^{\text{'}},x_3^{\text{'}\text{'}}\ge 0)\end{array}$

ta được :

$\begin{array}{}\text{min}z(x)={\mathrm{2x}}_1-(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})+2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}-{\mathrm{2x}}_5\\ x_1-2(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})+(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-2x_4^{\text{'}}+x_5+x_6=7\\ (x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})+2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})+x_4-x_7=-1\\ 2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}+{\mathrm{3x}}_5-x_8=\text{10}\\ x_1+(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})-2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}=\text{20}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1\text{,}{x}_5,x_6,x_7,x_8,x_2^{\text{'}},x_2^{\text{'}\text{'}},x_3^{\text{'}},x_3^{\text{'}\text{'}},x_4^{\text{'}}\ge 0\\ \begin{array}{}\{\{\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

hay :

$\begin{array}{}\text{min}z(x)={\mathrm{2x}}_1-(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})+2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}-{\mathrm{2x}}_5\\ x_1-2(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})+(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-2x_4^{\text{'}}+x_5+x_6=7\\ -(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})-2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4+x_7=1\\ 2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}+{\mathrm{3x}}_5-x_8=\text{10}\\ x_1+(x_2^{\text{'}}-x_2^{\text{'}\text{'}})-2(x_3^{\text{'}}-x_3^{\text{'}\text{'}})-x_4^{\text{'}}=\text{20}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{}{x}_1,x_5,x_6,x_7,x_8,x_2^{\text{'}},x_2^{\text{'}\text{'}},x_3^{\text{'}},x_3^{\text{'}\text{'}},x_4^{\text{'}}\ge 0\\ \begin{array}{}\{\{\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

Phương án

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc :

$\begin{array}{}\text{min/max}z(x)=c^{T}x\\ \text{Ax}=b\\ x\ge 0\\ \\ \\ \begin{array}{}\\ \begin{array}{}\{\end{array}\end{array}\\ \end{array}$ (P)

• x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án của (P) khi và chỉ khi Ax = b.
• x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án khả thi của (P) khi và chỉ khi Ax = b và x  0 .
• Một phương án tối ưu của (P) là một phương án khả thi của (P) mà giá trị của hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max.

Đặc điểm của tập hợp các phương án

Khái niệm lồi và các tính chất

a- Tổ hợp lồi

- Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi nếu : $\begin{array}{}x=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}^i={\alpha }_1{x}^1+{\alpha }_2{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{\alpha }_m{x}^m\\ {\alpha }_1,{\alpha }_2,\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},{\alpha }_n\ge \text{0}{\alpha }_1+{\alpha }_2+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+{\alpha }_n=1\end{array}$

- Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 người ta thường viết :

x=x1+(1-)x2 (01)

Nếu 0<<1 thì x được gọi là tổ hợp lồi thật sự.

- Ðoạn thẳng

Tập hợp tất cả các tổ tổ hợp lồi của 2 điểm bất kỳ A, B Rn được gọi là đoạn thẳng nối A và B . Ký hiệu :

AB= {x = A + (1-)B với [0,1] }