6.10 El fenómeno de gibbs  (Page 2/2)

Usaremos una función cuadrada, junto con sus series de Fourier, para ver figures donde se muestra este fenómeno con detalles un poco mas matemáticos.

Función cuadrada

Las series de Fourier de esta señal nos dicen que sus lados derechos e izquierdos son“iguales”. Para entender el fenómeno de Gibbs, necesitaremos redefinir la manera en la que vemos la igualdad.

Ejemplo

La siguiente nos muestra varias aproximaciones para las series de fourier de la función cuadrada , usando un número variado de términos escrito por $K$ :

Cuando comparamos la función cuadrada con su representación de la series de Fourier , no se puede ver claramente que las dos son iguales. El hecho de que las series de fourier requieren más términos para una representación más exacta no es importante. Sin embargo, una inspección mas detallada revela un posible problema:¿la series de Fourier pueden igualar la función cuadrada en todos los valores de $t$ ? ? En particular, en cualquier cambio de paso en la función, las series de fourier muestran un pico seguido por oscilaciones rápidas. Cuando se adhieren más términos a las series, las oscilaciones se vuelven más rápidas y más pequeñas, pero los picos no disminuyen. Consideremos intuitivamente esta pregunta matemática:¿puede una función discontinua, como la función cuadrada, ser expresada como una suma, aun si es infinita, de funciones continuas? Uno tiene que sospechar que de hecho no se puede expresar. Esta pregunta le produjo a Fourier criticas de la academia de ciencia Francesa (Lapace, Legendre, y Lagrande formaban parte del comitéde revisión) por muchos anos de su presentación en 1907. Esto no fue resuelto por mas se cien anos, y la solución es algo importante e interesante de entender para un punto de vista practico.

Estos picos en la series de fourier de la función cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de Gibb nombrado por el físico Americano Josiah Willard Gibb. Ocurran cada vez que las señales discontinuas, y siempre estarán presentes cuando la señal tiene brincos.

Redefiniendo igualdad

Regresemos a la pregunta de igualdad; como se puede justificar la señal de igualdad en la definición de la series de Fourier ? La respuesta parcial es que cada punto–todos los valores de $t$ --la igualdad no es garantizada. Lo que los matemáticos del siglo 19 fue que el error RMS de las series de Fourier eran cero.