7.4 Desigualdad de cauchy-schwarz

Aquí vemos dos señales cambiadas por nuestra señal patrón, cambiando las señales por $s_1$ and $s_2$ . Estas dos posibilidades nos dan los siguientes cálculos y resultados:

• Cambio de $s_1$ :
  $\frac{\int_{s_1}^{s_1+T} g(t)f(t-s_1)\,d t}{\sqrt{\int_{s_1}^{s_1+T} \left|g(t)\right|^2\,d t}}=\mathrm{"largo"}$
• Cambio de $s_2$ :
  $\frac{\int_{s_2}^{s_2+T} g(t)f(t-s_2)\,d t}{\sqrt{\int_{s_2}^{s_2+T} \left|g(t)\right|^2\,d t}}=\mathrm{"pequeño"}$

Ejemplos prácticos

Detección de imagen

En 2-D, este concepto es usado para acoplar imágenes juntas, tal como verificar las huellas digitales para seguridad o para acoplar fotos de alguien. Por ejemplo esta idea puede ser usada para los libros del tan conocido “¿dónde esta Waldo?” si se nos da la siguiente platilla ( ) y una pieza del libro “¿dónde esta Waldo?”,( ),

Entonces fácilmente podemos crear un programa para encontrar la imagen que más se asemeje a la imagen de la cabeza de Waldo en la figura larga. Simplemente podemos implementar nuestro algoritmo de filtro acoplado: tomar el producto interno de cada cambio y véase que tan larga es nuestra respuesta resultante. Esta idea fue implementada en esta misma imagen para un Proyecto de Señales y Sistemas (véase esta liga para saber mas) en la Universidad de Rice.

Sistemas de comunicaciones

Los detectores de Filtro Acoplado son usualmente usados en Sistemas de Comunicación . De echo, estos los detectores mas óptimos para el ruido Gaussaniano. Las señales en la vida real también son distorsionadas por el medio ambiente que las rodea, así que es una lucha constante para descubrir maneras capaces de recibir señales torcidas y después ser capaces de filtrarlas de alguna manera para determinar cual era la señal original. Los filtros acoplados nos proveen una manera de comparar la señal recibida con dos posibles señales (“plantilla”) y determinar cual es la que más se asemeja a la señal recibida.

Por ejemplo a continuación tenemos un ejemplo simplificado de la Frecuencia Desplazada de Keying (Frequency Shift Keying FSK) donde tenemos las siguientes condiciones para '1' y '0':

Basados en la codificación anterior, podemos crear una señal digital basada en 0’s y 1’s poniendo juntos los dos “códigos” anteriores en número infinito de maneras. Para este ejemplo transmitiremos tres números básicos de 3-bits: 101, desplegado en la siguiente :

Ahora la imagen anterior representa nuestra señal original que será transmitida por algún sistema de comunicación, el cual inevitablemente pasa a través del “canal de comunicación”, la parte del sistema que distorsionara y alterara nuestra señal. Mientras que nuestro ruido no sea muy grande, nuestro filtro acoplado nos mantendrá despreocupados de estos cambios de nuestra señal transmitida. Una vez que la señal ha sido recibida, pasamos la señal del ruido a través de un sistema simple, similar a la versión simplificada mostrada a continuación en la :

El diagrama anterior básicamente muestra que nuestra señal con ruido será pasada (asumiremos que pasara un “bit” a la vez) y que esta señal será separada y pasada a través de dos detectores de filtros acoplados diferentes. Cada uno comparara la señal con ruido para cada uno de los códigos que definimos para ‘1’ y ‘0’. Después este valor será pasado y cualquier valor que sea grande ( es decir cualquier señal de código FSK a la señal ruidosa que mejor se asemeje) será el valor que el recibidor tome. Por ejemplo, el primer bit que será enviado a través, será un ‘1’ así que el nivel de arriba del diagrama de bloque será el valor más alto, donde denotando que el ‘1’ fue enviado por la señal, aunque la señal aparezca muy ruidosa y distorsionada.

Demostración de la desigualdad de cauchy-schwarz

Veremos la demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Cauchy-Schwarz Inequality (CSI) )para un espacio vectorial real .

Desigualdad de cauchy-schwarz para un espacio vectorial real