0.5 Hiperboliese funksies en grafieke

Inleiding

In graag 10 het jy verskillende grafieke se vorms bestudeer. In hierdie hoofstuk sal jy leer van grafieke van funksies.

Funksies in die vorm $y=\frac{a}{x+p}+q$

Hierdie vorm van die hiperboliese funksie is effens meer kompleks as die vorms wat in graad 10 teëgekom is.

Ondersoek: funksies van die vorm $y=\frac{a}{x+p}+q$

1. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
   1. $a\left(x\right)=\frac{-2}{x+1}+1$
   2. $b\left(x\right)=\frac{-1}{x+1}+1$
   3. $c\left(x\right)=\frac{0}{x+1}+1$
   4. $d\left(x\right)=\frac{1}{x+1}+1$
   5. $e\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+1$
   Gebruik die resultate om die effek af te lei van Use your results to deduce the effect of $a$ .
2. Op dieselfde assestelsel, teken die volgende grafieke:
   1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}+1$
   2. $g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+1$
   3. $h\left(x\right)=\frac{1}{x+0}+1$
   4. $j\left(x\right)=\frac{1}{x+1}+1$
   5. $k\left(x\right)=\frac{1}{x+2}+1$
   Gebruik jou resultate om die effekte af te lei van $p$ .
3. Deur die algemene metode van die bogenoemde aktiwiteite, kies jou eie waardes van $a$ en $p$ om 5 verskillende grafieke te teken van $y=\frac{a}{x+p}+q$ om die effekte van $q$ af te lei.

Jy behoort te gevind het dat die teken van $a$ beïnvloed of die grafiek in die eerste en derde of in die tweede en vierde kwadrant van die Cartesiese vlak is.

Jy sou ook gevind het dat die waarde vand $p$ beïnvloed of die $x$ -afsnit negatief ( $p>0$ ) of positief( $p<0$ ) is.

Jy behoort ook te gevind het dat die waarde van $q$ beïnvloed of die grafiek bo die $x$ -as ( $q>0$ ) of onder die $x$ -as ( $q<0$ ) lê.

Hierdie verskillende eienskappe word opgesom in [link] . Die asse van simmetrie vir elke grafiek word vertoon as ‘n stippellyn.

	$p<0$	$p>0$
	$a>0$	$a<0$	$a>0$	$a<0$
$q>0$
$q<0$

Gebied en terrein

Vir $y=\frac{a}{x+p}+q$ , is die funksie ongedefinieerd vir $x=-p$ . Die gebied is daarom $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne -p\}$ .

Ons sien dat $y=\frac{a}{x+p}+q$ kan herskryf word as:

Dit wys dat die funksie ongedefinieerd is by $y=q$ . Die terrein van $f\left(x\right)=\frac{a}{x+p}+q$ is daarom $\left\{f\right(x):f(x)\in R,f(x)\ne q$ .

Byvoorbeeld, die gebied van $g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+2$ is $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne -1\}$ want $g\left(x\right)$ is ongedefinieerd by $x=-1$ .

Ons kan sien dat $g\left(x\right)$ is ongedefinieerd by $y=2$ . Daarom is die gebied $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ,2)\cup (2,\infty \left)\right\}$ .

Gebied en terrein

1. Bepaal die terrein van $y=\frac{1}{x}+1$ .
2. Gegewe: $f\left(x\right)=\frac{8}{x-8}+4$ . Write down the domain of $f$ .
3. Bepaal die gebied van $y=-\frac{8}{x+1}+3$

Afsnitte

Vir funksies van die vorm, $y=\frac{a}{x+p}+q$ , word die afsnitte met die $x$ en $y$ assebereken deur $x=0$ te stel vir die $y$ -afsnit en deur $y=0$ te stel vir die $x$ -afsnit.

The $y$ -intercept is calculated as follows:

Byvoorbeeld, die $y$ -afsnit van $g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+2$ word verkry deur $x=0$ te stel, wat lewer:

Die $x$ -afsnitte word bereken deur $y=0$ te stel as volg:

Byvoorbeeld, die $x$ -afsnit van $g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+2$ word gegee deur $x=0$ te stel om die volgende te kry:

Afsnitte

1. Gegewe: $h\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2$ . Bepaal die koördinate van die afsnitte van $h$ met die x- en y-asse.
2. Bepaal die x-afsnit van die grafiek van $y=\frac{5}{x}+2$ . Hoekom is daar geen y-afsnit vir hierdie funksie nie?

Asimptote

Daar is twee asimptote vir funksies van die vorm $y=\frac{a}{x+p}+q$ . Hulle word bepaal deur die gebied en terrein te ondersoek.

Ons het gesien dat die funksie ongedefinieerd was by $x=-p$ en vir $y=q$ . Daarom is die asimptote $x=-p$ en $y=q$ .

Byvoorbeeld, die gebied van $g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+2$ is $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne -1\}$ because $g\left(x\right)$ is ongedefinieerd by $x=-1$ . Ons sien ook dat $g\left(x\right)$ is ongedefinieerd by $y=2$ . Daarom is die terrein $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ,2)\cup (2,\infty \left)\right\}$ .

Hieruit kan ons aflei dat die asimptote lê by $x=-1$ en $y=2$ .

Asimptote

1. Gegewe: $h\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2$ . Bepaal die vergelykings van die asimptote van $h$ .
2. Skryf die vergelyking neer van die vertikale asimptoot van die funksie $y=\frac{1}{x-1}$ .

Teken grafieke van die vorm $f\left(x\right)=\frac{a}{x+p}+q$

Ten einde grafieke te teken van funksies van die vorm, $f\left(x\right)=\frac{a}{x+p}+q$ , moet ons vier eienskappebepaal met berekeninge:

1. gebied en terrein
2. asimptote
3. $y$ -afsnit
4. $x$ -afsnit

Byvoorbeeld, teken die grafiek van $g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}+2$ . Dui die afsnitte en asimptote aan.

Ons het bepaal dat die gebied is $\{x:x\in \mathbb{R},x\ne -1\}$ en die terrein is $\left\{g\right(x):g(x)\in (-\infty ,2)\cup (2,\infty \left)\right\}$ . Daarom is die asimptote by $x=-1$ en $y=2$ .

Die $y$ -intercept is $y_{int}=4$ en die $x$ -afsnit is $x_{int}=-2$ .

Grafieke

1. Teken die grafiek van $y=\frac{1}{x}+2$ . Dui die horisontale asimptoot aan.
2. Gegewe: $h\left(x\right)=\frac{1}{x+4}-2$ . Teken die grafiek van $h$ en dui duidelik die asimptote en ALLE afsnitte met die asse.
3. Teken die grafiek van $y=\frac{1}{x}$ en $y=-\frac{8}{x+1}+3$ op die selfdeassestelsel.
4. Teken die grafiek van $y=\frac{5}{x-2,5}+2$ . Verduidelik jou metode.
5. Teken die grafiek van die funksie gedefinieer deur $y=\frac{8}{x-8}+4$ . Dui die asimptote en die afsnitte met die asse aan.

Einde van die hoofstuk oefeninge

1. Teken die grafeik van die hiperbool gedefinieer deur $y=\frac{2}{x}$ vir $-4\le x\le 4$ . Veronderstel die hiperbool word geskuif met 3 eenhede na regs en 1 eenheid af. Wat is die nuwe vergelyking nou?
2. Gebaseer op die grafiek van $y=\frac{1}{x}$ , bepaal die vergelyking van grafiek met asimptote $y=2$ en $x=1$ wat deur die punt (2; 3) gaan.