3.1 Saamgestelde rente

Siyavula textbooks: wiskunde Page 2 / 2

Indien ons aanvangsbedrag $P$ is en ons het 'n rentekoers van $i$ per jaar, dan sal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar gelyk wees aan:

Eindbedrag na 1 jaar = P (1 + i)

Dit is dieselfde as enkelvoudige rente, want dit strek net oor een tydsinterval ('n jaar in hierdie geval). As ons die geld dan onttrek en weer belê vir nog 'n jaar - soos wat ons in die uitgewerkte voorbeeld hierbo gedoen het - sal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar as volg wees:

\begin{matrix} Eindbedrag na 2 jaar & = & [P (1 + i)] \times (1 + i) \\ = & P {(1 + i)}^{2} \end{matrix}

As ons hierdie geld onttrek en weer vir nog 'n jaar belê, sal die eindbedrag wees:

\begin{matrix} Eindbedrag na 3 jaar & = & [P {(1 + i)}^{2}] \times (1 + i) \\ = & P {(1 + i)}^{3} \end{matrix}

Ons kan sien dat die eksponent van die term $(1 + i)$ gelyk is aan die aantal tydsintervalle (jare in hierdie voorbeeld.) Dus,

Eindbedrag na n jaar = P {(1 + i)}^{n}

Die geheel bestaan uit kleiner dele

Dit is maklik om te bewys dat hierdie formule wel werk, selfs wanneer $n$ 'n breuk van 'n jaar is. Byvoorbeeld: gestel ons belê die geld vir 1 maand, dan vir 4 maande en dan vir 7 maande.

\begin{matrix} Eindsaldo na 1 maand & = & P {(1 + i)}^{\frac{1}{12}} \\ Eindsaldo na 5 maande & = & Eindsaldo na 1 maand belê met 4 maande oor \\ = & [P {(1 + i)}^{\frac{1}{12}}] {(1 + i)}^{\frac{4}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{1}{12} + \frac{4}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{5}{12}} \\ Eindsaldo na 12 maande & = & Eindsaldo na 5 maande belê met 7 maande oor \\ = & [P {(1 + i)}^{\frac{5}{12}}] {(1 + i)}^{\frac{7}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{5}{12} + \frac{7}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{\frac{12}{12}} \\ = & P {(1 + i)}^{1} \end{matrix}

wat dieselfde is as om die geld vir 'n jaar te belê.

Kyk nou versigtig na die lang berekening hierbo. Dit is nie so ingewikkeld as wat dit lyk nie! Al wat ons doen is om die aanvanklike bedrag ( $P$ ) te neem en net 1 maand se rente by te voeg. Dan neem ons daardie nuwe saldo en voeg 'n verdere 4 maande se rente by. Dan neem ons die saldo na al 5 maande en voeg 7 maande se rente by. Kyk weer daarna en let op hoe maklik dit eintlik is!

Lyk die finale formule bekend? Reg - dit is dieselfde resultaat as wanneer die geld vir een volle jaar belê word. Dit is presies wat ons verwag, want:

1 maand + 4 maande + 7 maande = 12 maande, wat 'n jaar is.

Kan jy dit sien? Moenie aanbeweeg totdat jy hierdie gedeelte verstaan nie.

Die krag van saamgestelde rente

Om te sien hoe belangrik "rente op rente" is, sal ons kyk na die verskil in die eindbedrae van geld wat teen enkelvoudige rente belê is en geld wat teen saamgestelde rente belê is. Beskou 'n bedrag van R10 000 wat jy vir 10 jaar moet belê en aanvaar dat jy rente kan verdien teen 9% per jaar. Wat sal die waarde van die belegging wees na 10 jaar?

Die eindbedrag indien die geld enkelvoudige rente verdien, is:

\begin{matrix} A & = & P (1 + i \cdot n) \\ = & R 10 000 (1 + 9 % \times 10) \\ = & R 19 000 \end{matrix}

Die eindbedrag indien die geld saamgestelde rente verdien, is:

\begin{matrix} A & = & P {(1 + i)}^{n} \\ = & R 10 000 {(1 + 9 %)}^{10} \\ = & R 23 673, 64 \end{matrix}

Die volgende keer wanneer iemand praat oor die “magic" van saamgestelde rente gaan jy nie net verstaan wat die persoon bedoel nie - jy gaan in staat wees om dit wiskundig te bewys!

Weereens, hou in gedagte dat dit goeie nuus en slegte nuus is. As jy rente verdien op geld wat jy belê het, sal saamgestelde rente daartoe lei dat die bedrag eksponensieel vermeerder. Maar, as jy geld geleen het, sal daardie bedrag ook eksponensieel groei.

Mnr Lowe wil 'n lening van R350 000 uitneem. Hy wil in totaal nie meer as R625 000 terugbetaal aan die lening nie. Bereken vir watter tydperk hy die lening moet uitneem indien 'n rentekoers van 13% per jaar aangebied word.

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangsbedrag, $P = R 350 000$
- Eindbedrag, $A = R 625 000$
- Rentekoers per tydsinterval, $i = 13 % per jaar$
Ons moet die tydsduur van die lening bepaal ( $n$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$

Ons moet vir $n$ bepaal.

Daarom verander ons die formule na:

$\frac{A}{P} = {(1 + i)}^{n}$

en dan bepaal ons $n$ met probeer en tref.
Los die probleem op
$\begin{matrix} \frac{A}{P} & = & {(1 + i)}^{n} \\ \frac{625000}{350000} & = & {(1 + 0, 13)}^{n} \\ 1, 785 . . . & = & {(1, 13)}^{n} \\ Probeer n & = & 3 : {(1, 13)}^{3} = 1, 44 . . . \\ Probeer n & = & 4 : {(1, 13)}^{4} = 1, 63 . . . \\ Probeer n & = & 5 : {(1, 13)}^{5} = 1, 84 . . . \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer Mnr Lowe moet die lening vir 4 jaar uitneem.

Ander toepassings van saamgestelde groei

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor twee jaar in Suid-Afrika wees?

Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor 2 jaar in Suid-Afrika wees?

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangstotaal , $P = 43 000 000$
- Aantal tydsintervalle , $n = 2 jaar$
- Groeikoers , $i = 2, 5 % per jaar$
Ons moet die eindtotaal bepaal ( $A$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$
Los die probleem op
$\begin{matrix} A & = & P {(1 + i)}^{n} \\ = & 43 000 000 {(1 + 0, 025)}^{2} \\ = & 45 176 875 \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Daar sal oor 2 jaar $45 176 875 - 43 000 000 = 2 176 875$ meer mense in Suid-Afrika wees.

'n Swembad word behandel vir die opbou van alge. Aanvanklik was $50 m^{2}$ van die swembad bedek met alge. Met elke dag van behandeling, verminder die alge met 5%. Bepaal die grootte van die oppervlakte van die swembad wat met alge bedek is na 30 dae van behandeling.

Bepaal wat is gegee en wat word gevra
- Aanvangsoppervlakte, $P = 50 m^{2}$
- Aantal tydsintervalle , $n = 30 dae$
- Koers van vermindering, $i = 5 % per dag$
Ons moet die oppervlakte bepaal wat aan die einde bedek is ( $A$ ).
Besluit hoe om die probleem aan te pak
Ons weet vanuit [link] dat:

$A = P {(1 + i)}^{n}$

Maar ons werk met saamgestelde vermindering so ons kan die volgende formule gebruik:

$A = P {(1 - i)}^{n}$
Los die probleem op
$\begin{matrix} A & = & P {(1 - i)}^{n} \\ = & 50 {(1 - 0, 05)}^{30} \\ = & 10, 73 m^{2} \end{matrix}$
Skryf die finale antwoord neer
Die grootte van die oppervlakte wat bedek is met alge na 30 dae is $10, 73 m^{2}$ .

Saamgestelde rente

'n Bedrag van R3 500 word belê in 'n spaarrekening wat saamgestelde rente verdien teen 7,5% per jaar. Bereken die bedrag wat opgebou is in die rekening na verloop van 2 jaar.
Die gemiddelde inflasiekoers vir die afgelope aantal jaar is 7,3% per jaar en jou water- en elektrisiteitsrekening is gemiddeld R1 425. Bereken wat jy kan verwag om te betaal oor 6 jaar.
Shrek wil geld belê teen 11% per jaar saamgestelde rente. Hoeveel geld (tot die naaste rand) moet hy belê indien hy oor 5 jaar 'n bedrag van R100 000 wil hê?

Die volgende afdeling op wisselkoerse is ingesluit ter wille van volledigheid. Dit is belangrik dat jy sal weet van fluktuerende wisselkoerse en die invloed daarvan op invoere en uitvoere. Fluktuerende wisselkoerse lei tot faktore soos die verhoging in die koste van brandstof. Jy kan meer hieroor lees in Fluktuerende wisselkoerse .

<< Chapter < Page Page > Chapter >>

Read also:

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

100% Free Mobile Applications
Receive real-time job alerts and never miss the right job again

Source: OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]. OpenStax CNX. Aug 04, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11328/1.4

Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 10) [caps]' conversation and receive update notifications?

Ask

	35 Biology 35 The Nervous System MCQ By OpenStax Start Quiz
	7 AP Key Terms 07 Axial Skeleton By OpenStax Start Key Terms
	9 Domain Driven Design By JavaChamp Team Start Quiz
	Object Oriented Programming Test 1 By Ali Sid Start Test
©flickr: Donnie	How well do you know Beanie Boos? By Angela Eckman Start Quiz
	7 AP 07 Axial Skeleton Essay By OpenStax Start Flashcards
	Cultural Anthropology Assignment 2 By Richley Crapo Start Assignment
©flickr: Rod	Medieval Africa By Jesenia Wofford Start Quiz
	3 CDL Quiz - General Knowledge Part 1 By Jazzycazz Jackson Start Quiz
	27 AP 27 Reproductive System MCQ By OpenStax Start Quiz