5.1 Диференцијални равенки од прв ред

Пример 5.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

$y^{\text{'}}=\frac{2(y+2{)}^2}{(x+y-1{)}^2}\text{.}$

РЕШЕНИЕ.

Со смената

$\begin{array}{}x=u+\alpha ,\text{dx}=\text{du}\\ y=v+\beta ,\text{dy}=\text{dv}\end{array}$ $\Rightarrow \frac{\text{dy}}{\text{dx}}=y^{\text{'}}=v^{\text{'}}=\frac{\text{dv}}{\text{du}}$

диференцијалната равенка се сведува на

$v^{\text{'}}=\frac{2(v+\beta +2{)}^2}{(u+\alpha +v+\beta -1{)}^2}\text{.}$

За да биде оваа диференцијална равенка хомогена, потребно е да се реши системот равенки

,

а диференцијалната равенка со овие вредности е

$v^{\text{'}}=\frac{{\mathrm{2v}}^2}{(u+v{)}^2},$

односно таа е хомогена равенка

$v^{\text{'}}=\frac{2{\left(\frac{v}{u}\right)}^2}{{\left(1+\frac{v}{u}\right)}^2}$

која со смената $v=\text{zu}$ и $v^{\text{'}}=z^{\text{'}}u+z$ се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

$-\frac{(1+z{)}^2}{z+z^3}\text{dz}=\frac{\text{du}}{u}$ .

Решението на оваа равенка е

$-\text{ln}\mid z\mid -2\text{arctg}z=\text{ln}\mid \text{Cu}\mid$

кое по вараќање на променливте од последната замена $z=\frac{v}{u}$ има облик

$\text{arctg}\frac{v}{u}=-\frac{1}{2}\text{ln}\mid \text{Cv}\mid$ или $\text{vC}=e^{-2\text{arctg}\frac{v}{u}}$

а по враќање на првобитните променливи од смената $x=u+\mathrm{3,}y=v-2$ , се добива општото решение на равенката кое гласи

$(y+2)C=e^{-2\text{arctg}\frac{y+2}{x-3}}$ . ◄

Пример 6.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

$y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2x}+y-1}{\mathrm{4x}+\mathrm{2y}+5}\text{.}$

РЕШЕНИЕ.

Оваа диференцијална равенка се сведува на хомогена равенка, но по воведување на смената детерминантата на системот е = 0. Равенката може да се запише во обликот

$y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2x}+y-1}{\mathrm{4x}+\mathrm{2y}+5}=\frac{(\mathrm{2x}+y)-1}{2(\mathrm{2x}+y)+5}$

и со смената

$z=\mathrm{2x}+y\Rightarrow y=z-\mathrm{2x}\Rightarrow y^{\text{'}}=z^{\text{'}}-2$

таа се сведува на равенка во која променливите се раздвојуваат

$z^{\text{'}}=\frac{\mathrm{5z}+9}{\mathrm{2z}+5}\text{.}$

Општото решение на оваа равенка е

$\int \frac{\mathrm{2z}+5}{\mathrm{5z}+9}\text{dz}=\int \text{dx}+C$

и по интегрирање тоа гласи

$\frac{2}{5}z+\frac{7}{\text{25}}\text{ln}\mid z+\frac{9}{5}\mid =x+C$

и по враќање на старата променлива од смената $z=\mathrm{2x}+y$ , општото решение е

$\frac{2}{5}(\mathrm{2x}+y)+\frac{7}{\text{25}}\text{ln}\mid \frac{\text{10}x+\mathrm{5y}+9}{5}\mid =x+C\text{.}$ ◄

Пример 7.

Да се најде партикуларното решение на диференцијалната равенка

$(1+x^2)y^{\text{'}}-2\text{xy}=(1+x^2{)}^2$ кое за $x=\mathrm{1,}y=2$ .

РЕШЕНИЕ.

Диференцијалната равенка се запишува како

$y^{\text{'}}-\frac{\mathrm{2x}}{1+x^2}y=1+x^2$ ,

и таа е линеарна при што $P(x)=-\frac{\mathrm{2x}}{1+x^2},Q(x)=1+x^2\text{.}$

Применувајќи ја формулата за општо решение на линеарната диференцијална равенка од прв ред се добива

$y=e^{\int \frac{\mathrm{2x}}{1+x^2}\text{dx}}\left[C+(1+x^2)e^{-\int \frac{\mathrm{2x}}{1+x^2}\text{dx}}\text{dx}\right]$ ,

или по решавање на интегралите, општото решение е

$y=(1+x^2)(C+x)$ .

Со замена на почетните услови $x=\mathrm{1,}y=2$ во општото решение

$2=(1+1)(C+1)\Rightarrow C=0$

се пресмета вредноста на интегралната константа и затоа бараното партикуларно решение е

$y=(1+x^2)x$ . ◄

Пример 8.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

$y^{\text{'}}=\frac{y}{\mathrm{2y}\text{ln}y+y-x}$ .

РЕШЕНИЕ.

Ова е пример на диференцијална равенка која не е линеарна по $y$ , а е линерна по променливата $x$ . Користејќи ја релацијата

$y^{\text{'}}=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\frac{1}{\frac{\text{dx}}{\text{dy}}}=\frac{1}{x^{\text{'}}}$ ,

диференцијалната равенка се запишува во облик

$\frac{1}{x^{\text{'}}}=\frac{y}{\mathrm{2y}\text{ln}y+y-x}$

или

$x^{\text{'}}=\frac{\mathrm{2y}\text{ln}y+y-x}{y}$ ,

од каде се гледа дека таа е линеарна по променливата $x$ и се запишува во вообичаениот облик како

$x^{\text{'}}+\frac{x}{y}=\mathrm{2y}\text{ln}y+1$ .

Според тоа изразот за општо решение на оваа диференцијална равенка која е линеарна по променливата $x$ ќе гласи

$x=e^{-\int \frac{\text{dy}}{y}}\left[\int (\mathrm{2y}\text{ln}y+1)e^{\int \frac{\text{dy}}{y}}\text{dy}+C\right]$ ,

а по решавање на интегралите се добива

$x=\frac{1}{y}\left[y^2(\text{ln}y-\frac{1}{2})+\frac{y^2}{2}+C\right]$

и по средување на овој израз, општото решение е

$x=\frac{C}{y}+y\text{ln}y$ . ◄

Пример 9.

Да најде општото решение на диференцијалната равенка

$y^{\text{'}}-y\text{tg}x+y^2\text{cos}x=0$ .

РЕШЕНИЕ.

Дадената равенка е Бернулиева диференцијална равенка

$y^{\text{'}}-y\text{tg}x=-y^2\text{cos}x$

која по делење со $y^2$ ја дава равенката

$\frac{y^{\text{'}}}{y^2}-\frac{\text{tg}x}{y}=-\text{cos}x$

и која преку смената

$t=\frac{1}{y},t^{\text{'}}=-\frac{y^{\text{'}}}{y^2}$

се сведува на линеарна диференцијална равенка

$-t^{\text{'}}-t\text{tg}x=-\text{cos}x$ ,

односно

$t^{\text{'}}+t\text{tg}x=\text{cos}x$

чие што решение е

$t=e^{-\int \text{tgxdx}}\left[\int \text{cos}x{e}^{\int \text{tgxdx}}\text{dx}+C\right]$ .

Решавајќи ги интегралите од десната страна, се добива дека

$t=(x+C)\text{cos}x$

и по враќање на старата променлива од смената $t=\frac{1}{y}$ , општото решение на бараната Бернулиева равенка е

$y=\frac{1}{(x+C)\text{cos}x}$ . ◄

Пример 10.

Да се најде општото решение на Бернулиевата диференцијална равенка

$\text{xy}(\text{xdy}+\text{ydx})={\mathrm{4x}}^3\text{dx}$ .

РЕШЕНИЕ.

Ако во диференцијалната равенка

$\text{xy}(\text{xdy}+\text{ydx})={\mathrm{4x}}^3\text{dx}$

се ослободиме од заградата (множиме) и потоа поделиме со $\text{dx}$ , се добива

$x^{2}y\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+{\text{xy}}^2={\mathrm{4x}}^3$ .

Делејќи ја последната равенка со коефициентот $x^{2}y$ кој е пред изводот

$x^{2}y\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+{\text{xy}}^2={\mathrm{4x}}^3\text{/:}{x}^{2}y$

се добива стандардниот облик на Бернулиева диференцијална равенка

$y^{\text{'}}+\frac{y}{x}=\frac{\mathrm{4x}}{y}$ .

Во оваа равенка степенот $n=-1$ и затоа равенката ја делиме со $y^{-1}$ (множиме со $y$ ) при што се добива

$y{y}^{\text{'}}+\frac{y^2}{x}=\mathrm{4x}$

и со смената $t=y^2\Rightarrow t^{\text{'}}=\mathrm{2y}{y}^{\text{'}}$ , таа се сведува на линеарна диференцијална равенка

$t^{\text{'}}+\frac{2}{x}t=\mathrm{8x}$

која има решение

$t=e^{-\int \frac{2}{x}\text{dx}}\left[\int 8{\text{xe}}^{\int \frac{2}{x}\text{dx}}\text{dx}+C\right]$ ,

односно

$t=\frac{1}{x^2}({\mathrm{2x}}^4+C)$ .

Со враќање на старата променлива од смената $t=y^2$ , се добива општото решение

$y^2{x}^2={\mathrm{2x}}^4+C\text{.}$ ◄